风险型决策模型

一、基本定义和原理

    决策是人们在政治、经济、军事和日常生活等多方面普遍存在的一种选择方案的行为。任何决策都有一个过程和程序，绝非灵机一动随意产生的，除非你想敷衍了事。就环境而言，决策可以分为确定型，不确定型和风险型。本节讨论风险型决策模型。

    风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估计出来，因此这种决策因存在一定的风险，称为风险型决策。

1. 风险决策模型的基本要素

1) 决策者

    进行决策的个人、委员会或某个组织。在问题比较重大和严肃时，通常应以组织形式出现。

2) 方案或策略

    参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略。如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略。

3) 准则

    衡量所选方案正确性的标准。作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断。从收益角度去看问题，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失而言，期望效益值越小的方案越好。

4) 事件或状态

    不以决策者所控制的、客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人们不可控制的因素。

5) 结果

    某事件(状态)发生带来的收益或损失值。

2. 风险决策方法

（1）利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，本节将充分使用这种称为决策树的方法。

（2）充分利用灵敏度分析方法对决策结果作进一步的推广和分析。

其中的决策树概念先以一实例说明如下。

例如，某渔船要对下个月是否出海打鱼作出决策。如果出海后是好天，可获收益5000元，若出海后天气变坏，将损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元损失费.据预测下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，应如何选择最佳方案?

1．收益期望值的计算

我们将出海的收益作为随机变量 \( X \)，其概率分布如下：
\[
\begin{array}{c|cc}
X&
5000&
-2000 \\
\hline
P&
0.6&
0.4 \\
\end{array}
\]
故 \( X \) 的数学期望为
\[
EX=5000\times 0.6+(-2000)\times 0.4=2200
\]
我们将不出海的收益作为随机变量 \( Y \)，依题意，其概率分布为 \( P\{Y=-1000\}=1 \)。故 \( Y \) 的数学期望为
\[
EY=-1000\times 0.6-1000\times 0.4=-1000
\]

2．画决策树图
    引入决策节点A，由此引出两个分支，即两个决策方案：出海与不出海。有两个状态节点，用符号`` \( \bigcirc
 \) ''标记，由它引出表示不同状态下事件发生的概率的分枝称为概率分枝，最后在概率分枝的终点画``''符号表示这一分枝的最终结果的效益值(期望值)，正值表示收益，负值表示损失。本例对应的决策树如图1-1。
                     

比较节点B、C，显然出海收益的数学期望值大，即 \( 2200>-1000 \)，从而选择出海。

    以上是一个很简单的决策问题，然而在实际问题中还会遇到多阶段的决策。

二、两阶段的决策问题的提出

    某建筑工程用正常速度施工，若天气正常，30天即可完工。但据预测15天后天气将转坏，其中有40%可能为不影响施工的阴雨天气；有50%的可能遇暴雨使工期推迟15天；有10%可能遇台风使工期推迟20天。面对这种状态有两个方案：

第一个方案为提前紧急加班，在天气变坏之前完工，但须多支付18000元工资。

第二方案为不加班，到15天后再决策：

(1) 若遇阴雨天，照常施工，按时完工；

(2) 若遇暴雨有两个方案：其一，不采取任何措施，但须支付工程延期损失费20000元。其二，采取某种应急措施，但有三种不同的可能性：有50%可能减少误工1天，须支付延期损失费和应急费24000元；有30%的可能减少误工期2天，须支付延期损失费以及应急费18000元；有20%可能减少误工3天，须支付损失费和应急费12000元。

(3) 若遇台风，也有两种可能的方案：其一不采取特别措施，但需支付延期损失费50000元。其二，采取应急措施，有三种可能性：有70%可能性减少误工2天，支付损失费和应急费54000元；有20%可能性减少误工3天，须支付损失费及应急费46000元；有10%可能减少误工4天，须支付损失费和应急费38000元。试确定最佳方案。

三、分析与求解

    该问题是两阶段的决策问题，可以画出两阶段决策树，如图1-2和图1-3。定义15天后根据不同天气所作的决策为第1级决策，最后的决策为第2级决策。


    先画出第1级的状态节点B，按上例的方法画出决策枝，按通常的方法完成决策树。

   

先作第1级决策。对台风情形，设三种状态下付出的费用为随机变量 \( X \)，其概率分布分别为
\[
\begin{array}{c|ccc}
X&
54000&
46000&
38000 \\
\hline
P&
0.7&
0.2&
0.1 \\
\end{array}
\]
因此，采取应急措施所付出的费用的数学期望为
\[
EX=-(0.7\times 54000+0.4\times 46000+0.1\times 38000)=-50800
\]
将其标记在状态点 \( F_{1} \) 上方。它显然超过不采取措施的付出，所以应剪去在台风情形采取应急措施这一枝，并将-50000标在决策点 \( D_{3} \) 的上方。同理，对决策点 \( D_{2} \) 计算对应于采取应急措施的状态结点 \( E_{1} \) 的支付费用的数学期望，得 \( -19800 \)，标在状态结点 \( E_{1} \) 的上方。它比不采取措施的支付 \( 20000 \) 少，因此剪去不采取措施这一枝，并把 \( -19800 \) 标在决策结点 \( D_{2} \) 上方，这就完成了第1级决策(见图1-2)。

    在天气状态结点B处，用第1级决策的结果计算``效益''的数学期望值为
\[
EY=-(0.4\times 0+0.5\times 19800+0.1\times 50000)=-14900
\]
并标记在 \( B \) 的上方，其效益与提前加班的效益 \( -18000 \) 相比更好，故不能采取提前加班的方案，如图1-3所示。
                                             

四、结论

    最佳的决策是不用提前加班，等15天后若遇阴雨天或台风都只须听其自然按原来的进度施工，而遇暴雨则采取应急措施，此决策方案支付的费用的数学期望是14900元。

五、灵敏度分析

    考虑遇暴风雨情形下，采取紧急措施的三种状态的概率发生变化，因而对决策的影响。不妨设因采取紧急措施减少误工1天、2天、3天的概率分别为0.55、0.25和0.2，这时计算建筑公司所付出的费用的数学期望为20100元，与20000元比较，因此减去采取措施这一分枝。再计算``效益''的数学期望值
\[
EY=-(0.4\times 0+0.5\times 20000+0.1\times 50000)=-15000
\]
同样，最终的决策仍然是不用提前加班，等15天后，不管遇什么样的天气都顺其自然，不采取任何措施，在该决策方案下，建筑公司所支付的平均费用为15000元（即损失代价值）。


思考：
    某公司根据市场预测，所生产的产品会有较大规模的需求量，而目前的产量明显不足。现行状态是公司当前的雇员用每周40小时的正常工作时间进行运作。那么为了提高产量，公司决策集团提出了两种新的方案：一是利用现在这些雇员进行超时工作，二是增加新设备。市场分析专家认定，对产品的需求增加15{\%}的可能性为60{\%}，但也提出警告说经济可能恶化，因而需求实际下降5{\%}的可能性为40{\%}。有关信息列于下表中，该表显示了每种行动，每个自然状态和它出现的概率，以及在每种行动和每个状态下公司的纯收入。
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&
\mbox{自然状态 }  \\
\hline
\mbox{行动} &
5{\%}\mbox{的下降（概率为0.4）} &
15{\%}\mbox{的增加（概率为0.6）}  \\
\hline
\mbox{保持当前水平} &
{\$}300 000 &
{\$}340 000  \\
\hline
\mbox{员工超时工作} &
{\$}300 000 &
{\$}420 000  \\
\hline
\mbox{增加新设备} &
{\$}260 000 &
{\$}440 000  \\
\hline
\end{array}
\]
试确定最佳决策方案，并进行灵敏度分析。