当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第1章 随机事件与概率 > 事件的独立性及应用 > 拓展知识
例1 设事件 \( B_i
\) 表示第 \( i \) 次检查为阳性，事件 \( B \) 表示被查者患肠癌，已知肠镜检查效果如下：
\[
P(A_i \,\left| B \right.\,)=P(\,\overline {A_i } \,\left| {\,\overline B }
\right.\,)=0.95\,,\,\,P(B)=0.005
\]
某患者首次检查反应为阳性，试判断该患者是否已患肠癌？若三次检查反应均为阳性呢？
分析：由Bayes 公式得
\[
P(B\,\left| {A_1 } \right.)=\frac{P(B)P(A_1 \left| B \right.)}{P(B)P(A_1
\left| B \right.)+P(\overline B )P(A_1 \left| {\overline B } \right.)}
=\frac{0.005\times 0.95}{0.005\times 0.95+0.995\times 0.05}\approx 0.087
\]
表明：首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大。
\begin{eqnarray}
P(B\,\left| {A_1 } \right.A_2 )
&=&\frac{P(B)P(A_1 A_2 \left| B \right.)}{P(B)P(A_1 A_2 \left| B
\right.)+P(\overline B )P(A_1 A_2 \left| {\overline B } \right.)}\\
&=&\frac{P(B)P(A_1 \left| B \right.)P(A_2 \left| B \right.)}{P(B)P(A_1 \left|
B \right.)P(A_2 \left| B \right.)+P(\overline B )P(A_1 \left| {\overline B }
\right.)P(A_2 \left| {\overline B } \right.)}\\
&=&\frac{0.005\times 0.95^2}{0.005\times 0.95^2+0.995\times 0.05^2}\\
&\approx& 0.6446
\end{eqnarray}
结论：接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半。
两次检查反应均为阳性，还不能断定患者已患肠癌。
\[
P(B\left| {A_1 A_2 A_3 } \right.)=\frac{0.005\times 0.95^3}{0.005\times
0.95^3+0.995\times 0.05^3}\approx 0.9718
\]
结论：连续三次检查为阳性几乎可断定已患肠癌。
例2 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%，求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率。
分析：设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 \( A \)，第 \( i \) 个人的血清中含有肝炎病毒为事件
\( A_{i},i =1,2,\ldots,100,A=\bigcup\limits_{i=1}^{100} {A_i } \)。则
\[
P(A)=1-\prod\limits_{i=1}^{100} {\left[ {1-} \right.P} \left. {(A_i )}
\right]
=1-(1-0.004)^{100}\approx 0.33
\]
一般地，若 \( B_{n} \) 表示 \( n \) 个人的血清混合液中含有某种病毒，其中每个人含病毒的概率为 \(\varepsilon\)，则
\[ P(B_n )=1-(1-\varepsilon )^n,\;\;\;\;\;\;\;0<\varepsilon <1, n=1,2,\cdots
\]
所以当 \( n \) 充分大时
\[
\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } P(B_n )=1
\]
注：不能忽视小概率事件， 小概率事件迟早要发生。
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