正态分布在机械可靠性设计中的应用

1．背景
        在机械零件结构设计中，零件单位面积上所承受的外力称为应力（Stress），记为 \( X \)，材料单位面积上能承受的最大应力称为强度（Strength），记为 \( Y \)，强度是零件承受应力的能力。假设 \( X{\sim
}N(\mu _X ,\sigma _X^2 ) \)，\( Y{\sim }N(\mu _Y ,\sigma _Y^2
) \)。零件是否正常工作取决于强度和应力的关系，当强度 \( Y \) 大于应力 \( X \) 时，即 \( Y>X \)，零件正常；当强度小于应力时，即 \( Y =\frac{\mu _Y }{\mu _X } \)，当 \( \eta >1 \) 时，零件正常工作，反之，\( \eta
<1 \) 时，零件失效。这种方法过于简单，因此提出概率设计法，它不仅考虑了安全系数，还定量地从可靠性的角度去考虑和实施机械零件的设计。
        由于在机械设计中，强度与应力具有相同的量纲，因此可以将它们的概率密度曲线表示在同一个坐标系中。通常要求零件的强度高于其工作应力，但由于零件的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率密度函数曲线在一定的条件下可能相交（如图1的右图所示（图中的阴影线部分）），即为零件可能出现故障的区域，称为干涉区。

                                 

        如果在机械设计中使零件的强度大大地高于其工作应力而使两种分布曲线不相交（如图1的左图所示），则该零件在工作初期在正常的工作条件下，强度总是大于应力，是不会发生故障的。即使是在这种使应力与强度分布曲线无干涉的设计情况下，该零件在变载荷、腐蚀、磨损、疲劳载荷的长期作用下，强度也将会逐渐衰减，可能会由如图1中所示的位置 \( a \) 沿着衰减曲线移到位置 \( b \)，而使应力、强度分布曲线发生干涉，即由于强度的降低导致应力超过强度而发生不可靠的问题。由应力-强度干涉图还可以看出，当零件的强度和工作应力的离散程度大时，干涉部分就会加大，零件的不可靠度也就增大；当材质性能好、工作应力稳定，而使应力与强度分布的离散度小时，干涉部分会相应地减小，零件的可靠度就会增大。另外，由该图也可以看出，即使在安全系数大于1的情况下仍然会存在一定的不可靠度。所以，只进行安全系数的计算是不够的，还需要进行可靠度的计算。这正是基于概率论的可靠性设计有别于传统常规设计的最重要的特点。图2所示给出了机械零件强度可靠性设计的过程。

                                  
2．零件的可靠度分析

        由上述对应力-强度干涉模型的分析知，机械零件的可靠度主要取决于应力-强度分布曲线干涉的程度。如果应力与强度的概率分布曲线已知，就可以根据其干涉模型计算该零件的可靠度。
        在初始时刻 \( t_0
 \) 下，应力与强度的概率密度曲线不发生干涉，且最大可能的应力都要小于最小可能的强度，这时，应力大于零件强度是不可能事件。即\[
P\{X>Y\}=0 \tag{1}
\]具有这样的应力-强度模型的机械零件是安全的，不会发生故障。
        当应力与强度的概率分布发生干涉时，即在时刻 \( t_1  \) 下，虽然 \( \mu _X
<<\mu _Y
 \)，但不能绝对保证应力在任何情况下都不大于极限应力（强度）。这时应该有\[
P\{X>Y\}>0 \tag{2}
\]        ① 当应力超过强度时，将产生故障或失效。应力大于强度的概率称为失效概率或不可靠度，记为
\[
F=P\{X>Y\}=P\{Y-X<0\} \tag{3}
\]        ② 当应力小于强度时，不发生故障或失效。应力小于强度的概率称为可靠度，记为
\[
R=P\{X0\} \tag{4}
\]令 \( f(x),g(y) \) 分别为应力 \( X \) 和强度 \( Y \) 的概率密度函数，那么零件可靠性模型的一般表达式为
\[
R=P\{\;Y>X\}=P\{\;Y-X>0\}=\int_{-\infty }^{+\infty } {\left[
{f(x)\int_x^{+\infty } {g(y)dy} } \right]dx}  \tag{5}
\]
3. 应力与强度的可靠度计算公式
        设强度和应力均服从正态分布，即 \( Y\sim N(\mu _Y ,\sigma _Y^2
) \)，\( X\sim N(\mu _X ,\sigma _X^2 ) \)，且 \( X \) 与 \( Y \) 相互独立。
        令 \( Z=Y-X \)，则由正态分布的线性性得知 \( Z \) ～ \( N(\mu _Z ,\sigma _Z^2
) \)，其中 \( \mu _Z =\mu _Y -\mu _X  \)，\( \sigma _Z^2 =\sigma _Y^2 +\sigma
_X^2  \)，所以
\[
R=P\{\;Y-X>0\}=P\{Z>0\}=1-\Phi \left( {-\frac{\mu _Z }{\sigma _Z }}
\right)=1-\Phi \left( {-\frac{\mu _Y -\mu _X }{\sqrt {\sigma _Y^2
+\sigma _X^2 } }} \right) \]\[u_R =\frac{\mu _Z }{\sigma _Z }=\frac{\mu
_Y -\mu _X }{\sqrt {\sigma _Y^2 +\sigma _X^2 } } \tag{6}
\]（6）式将应力、强度的分布参数和可靠度三者联系起来，故称（6）式为``联结方程''，或称为``耦合方程''，它是可靠性设计的基本公式。称
\[
\beta =\frac{\mu _Y -\mu _X }{\sqrt {\sigma _Y^2 +\sigma _X^2 }
} \tag{7}
\]为可靠性系数或可靠度指标。当已知可靠性系数 \( \beta  \) 值时，根据 \( u_R
=\beta  \) 可计算出可靠度 \( R \) 值，也可以给定 \( R \) 值求可靠性系数 \( \beta  \) 值。

4. 应力、强度的几种干涉情况
        (1) 当 \( \mu _Y >\mu _X  \) 时
        这时零件失效概率 \( F<50\%  \)，\( R>50\%
 \)，见图3（a）。在方差不变的情况下，当 \( \mu _Z \to +\infty  \)，即 \( \mu
_Y  \) 远远大于 \( \mu _X  \) 时，\( R\to 1 \)，即可靠度非常高；
         

        (2) 当 \( \mu _Y =\mu _X  \) 时
        因为 \( \mu _Z =\mu _Y -\mu _X =0 \)，所以干涉概率或失效概率 \( F=50\%
 \)，且与 \( \sigma _Y^2  \)，\( \sigma _X^2  \) 无关，见图3（b）。

        (3) 当 \( \mu _Y <\mu _X  \) 时
        因为 \( \mu _Z =\mu _Y -\mu _X <0 \)，所以干涉概率或失效概率 \( F>50\%
 \)，即可靠度 \( R<50\%  \)，当 \( \mu _Z \to -\infty  \)，即 \( \mu _Y
 \) 远远小于 \( \mu _X  \) 时，\( R\to 0 \)，即可靠度非常低，见图3（c）。

        显然，在实际设计中，后两种情况不允许出现。在一般情况下，应根据具体情况确定一个最经济的可靠度，即允许应力、强度两种分布曲线在适当范围内有干涉发生。为减小干涉区，应提高强度，例如从材料、工艺和尺寸上采取强化措施，但这要增加产品的成本。也可以采取减小应力和强度的偏差，即从减小标准差 \( \sigma
_X  \)，\( \sigma _Y  \) 的途径来提高可靠度。