当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第3章 多维随机变量及其分布 > 多维随机变量及分布（二） > 拓展知识
对于多维随机向量来说，分布函数或者密度函数（或分布律）刻画了它的概率性质，因此，对分布函数或者密度函数的理解和掌握尤为重要。就二维连续型随机变量而言，其密度函数一般是二元连续函数，几何上表现为一张空间曲面，由于规范性，该曲面是位于xoy坐标面之上的，它与xoy坐标面围成的曲顶柱体的体积一定为1。一般地，\( (X,Y) \) 的事件 \( A \) 的概率可利用以下公式求取
\[
P(A)=\iint\limits_{D_{A}}f(x,y)dydx
\]
很明显，在微积分中，这是一个曲顶柱体的体积，积分区域是事件A对应的区域 \( D_{A} \)。接下来，我们从几何的角度来认识联合密度及二维随机变量的事件。
一、联合密度（随机向量的取值区域及强度）
例1 \( (X,Y) \) 服从二维正态分布 \( N(0,1;0,1;\rho \) )，\( |\rho|\leq
1 \) 为相关系数，其联合密度函数为
\[f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt
{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right\},\ \ x\in R,
y\in R\]
该密度函数的曲面图形（左）及等高线（密度的强弱）图形（右）如下所示。
图1中，\( (X,Y) \) 的取值集中在 \( (0,0) \) 附近，强度向外逐渐减弱，呈椭圆状。图2中，\( (X,Y) \) 的取值集中在 \( (0,0) \) 附近，强度向外逐渐减弱，呈圆域状。由图1、2可知，参数 \( \rho \) 的取值决定曲面的形状。
类似的，对二维密度
\[
f(x,y)=
\left \{
\begin{array}{cc}
8xy,&0\leq y\leq x,0\leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
\]
\( (X,Y) \) 的取值区域及强度如图3所示。
二、\( (X,Y) \) 的事件及概率
例2 \( (X,Y) \) 服从二维正态分布 \( N(0,1;0,1;0) \)，图解事件 \( A=\{-1\leq X\leq 1-Y^2\} \) 和它的概率 \( P(A) \)。
概率 \( P\{-1\leq X\leq 1-Y^2\} \) 在 \( xoy \) 坐标面上对应区域 \( D_{A} \) 如图4所示。
相应地，事件 \( P\{-1\leq X\leq 1-Y^2\} \) 的概率是该区域上曲顶柱体体积（曲顶是如图5所示的密度函数曲面部分）。
附例2的Matlab代码：
clear;clc;
rou=0.0;
[x,y]=meshgrid(-1.5:0.01:1.5);
m=length(x);n=length(y);
y1=-sqrt(1-x);
y2=sqrt(1-x);
for i=1:m
for j=1:n
if (y(i,j)>y2(i,j)) | (y(i,j)<y1(i,j))|(x(i,j)<-1)
y(i,j)=nan;
end
end
end
z=(1/(2*pi*sqrt(1-rou^2)))*exp((x.^2+y.^2-2*rou*x.*y)/(-2*(1-rou^2)));
mesh(x,y,z)
set(gca,'Color','black','XColor','blue', ...
'YColor','blue','ZColor','blue')
xlabel('相关系数为0')
view(3)
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