如何估计池塘中的鱼的数量

 一、问题提出
       假设某池塘中投放1万条鱼苗(小鱼)，经过一年时间的喂养，由于自然界中万物的生态平衡，养殖的过程中难免会出现鱼的死亡和出生的现象，现在要估计的池塘里的鱼数。利用统计学中的参数估计方法可以解决这个问题。首先需要获取样本，假设池塘里鱼的数量有 \( N \) 条，从中捕出 \( r \) 条，每条鱼都做上记号，然后将它们放回池塘中(假设记号不消失)，经过一段时间(三个月或半年)后，再从湖中捕出 \( s \) 条 \( (s\ge
r) \)，其中统计标有记号的鱼数 \( t \) 条 \( (0\le t\le
r) \)。试根据这些信息，估计湖中鱼数 \( N \) 的值。

二、问题的分析及求解
       解决方案共有四种。
解法1   用概率的统计定义方法
       依题意，湖中有记号的鱼的比例应该是 \( \frac{r}{N} \) （概率），而在捕出的s条中有记号的鱼为 \( t \) 条，有记号的鱼的比例是 \( \frac{t}{s} \) (频率)。设想捕鱼是完全随机的，每条鱼被捕到机会都相等，于是根据用频率估计概率的思想，便有
\[
\frac{r}{N}=
\frac{t}{s}
\]
即  \( N=\frac{sr}{t} \)，故  \( \hat {N}=\left[ {\frac{rs}{t}} \right] \)。

解法2   用矩估计法
       设随机变量 \( X \) 表示第二次取出的鱼中有标记的鱼数，可能取值为 \( 0,1,2,\cdots,r \)。由所学的概率知，\( X \) 服从超几何分布：
\[
P\{X=k\}=\frac{C_r^k C_{N-r}^{s-k} }{C_N^k },\quad k=0,1,2,\cdots,r
\]
超几何分布的数学期望是 \( EX=\frac{rs}{N} \)。它是捕捉 \( s \) 条鱼得到有标记的鱼的总体平均数，而现在只捕捉一次，出现 \( t \) 条有标记的鱼，由矩估计方法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即 \( \frac{rs}{N}=t \) ,于是得到 \( \hat
{N}=\left[ {\frac{rs}{t}} \right] \)，与解法一得到的结果一致。

解法3   二项分布与极大似然估计
       若再加上一个条件，即假定捕出的鱼数 \( s \) 与湖中的鱼数 \( N \) 的比很小，即 \( s<<N \)，这样的假定对实际来说一般是可以满足的，这样我们可以认为每捕一条鱼出现有标记（``成功''）的概率为 \( p=\frac{r}{N} \)，且认为在 \( s \) 次捕鱼（每次捕一条）中 \( p \) 不变。把捕捉 \( s \) 条鱼近似地看作 \( s \) 重贝努里试验，于是，根据二项分布，\( s \) 条鱼中有 \( t \) 条鱼有标记的，就相当于 \( s \) 次试验中有 \( t \) 次成功。故
\[
P_s (t)=C_s^t p^t(1-p)^{s-t}=C_s^t
(\frac{r}{N})^t(1-\frac{r}{N})^{s-t}=\frac{1}{N^s}C_s^t r^t(N-r)^{s-t}
\]
同样地，我们取 \( N \) 使概率 \( P_s
(t) \) 达到最大，为此我们将 \( N \) 作为非负实数看待，求 \( P_S
(t) \) 关于 \( N \) 的最大值。为方便，求 \( \ln P_s (t) \)  关于 \( N \) 的最大值。于是
\[
\ln P_s (t)=-s\ln N+\ln C_s^t +(s-t)\ln (N-r)
\]
令
\[\frac{d\ln P_s (t)}{dN}=-\frac{s}{N}+\frac{s-t}{N-r}=0\]
同样可得，  \( \hat {N}=\left[ {\frac{rs}{t}} \right] \)。

解法4   超几何分布与极大似然估计
       类似于解法2，设随机变量 \( X \) 表示第二次取出的鱼中有标记的鱼数，可能取值为 \( 0,1,2,\cdots,r \)，则 \( X \) 服从超几何分布：
\[
P\{X=k\}=\frac{C_r^k C_{N-r}^{s-k} }{C_N^k },\quad k=0,1,2,\cdots,r
\]第二次从湖中捕出 \( s \) 条 \( (s\ge r) \)，标有记号的鱼数 \( t \) 条 \( (0\le t\le r) \)，则
\[
P\{X=t\}=\frac{C_r^t C_{N-r}^{s-t} }{C_N^s }\equiv L(N)
\]根据极大似然估计法，参数 \( N \) 的估计值 \( \hat {N} \) 应该使得
\[
L(\hat {N})=\mathop {\max }\limits_N L(N)
\]由比值
\[
R(N)\equiv \frac{L(N)}{L(N-1)}=\frac{C_r^t C_{N-r}^{s-t} }{C_N^s }\cdot
\frac{C_{N-1}^s }{C_r^t C_{N-1-r}^{s-t} }=\frac{C_{N-r}^{s-t} C_{N-1}^s
}{C_N^s C_{N-r-1}^{s-t} }
\]化简得到
\[
R(N)=\frac{(N-r)(N-s)}{N(N-r-s+t)}=\frac{N^2-Nr-Ns+rs}{N^2-Nr-Ns+Nt}
\]显然，当 \( rs>Nt \) 时，\( R(N)>1 \)，即当 \( N<\frac{rs}{t} \) 时，\( L(N) \) 是 \( N \) 的上升函数；当 \( rs<Nt \) 时，\( R(N)<1 \)，即当 \( N>\frac{rs}{t} \) 时，\( L(N) \) 是 \( N \) 的下降函数。于是当 \( N=\frac{rs}{t} \) 时,
 \( L(N) \) 达到最大值. 但由于 \( N \) 是整数，故取
\[
\hat {N}=\left[ {\frac{rs}{t}} \right]
\]

三、评述
       此例说明，对同一个问题可以采用不同的方法解决；类似的问题，例如，估计一个城市的人口总数，也可以用同样的方法去考虑。