多项分布和多项超几何分布的相关系数计算

       多类别产品的有放回或无放回抽样就会产生多项分布多项超几何分布。特别地，它们的边缘分布将是二项分布和超几何分布。如果 \( r \) 维随机向量 \( (X_1
,\cdots  ,X_r ) \) 服从多项分布或多项超几何分布，那么，变量 \( X_i  \) 与 \( X_j
 \) 之间独立吗？如果不独立，相关系数如何？下面请看它们的相关系数的计算。

例1（多项分布）设随机向量 \( (X_1 ,\cdots  ,X_r ) \) 服从多项分布：
\[
P\{X_1 =k_1 ,X_2 =k_2 ,\cdots ,X_r =k_r \}=\frac{n!}{k_1 !k_2 !\cdots k_r !}p_1^{k_1
} p_2^{k_2 } \cdots p_r^{k_r } ,
\]
求相关系数 \( \rho (X_i ,X_j ) \)。

解： 随机向量 \( (X_1 ,\cdots  ,X_r ) \) 的边缘分布为二项分布，即 \( X_i \sim B(n,p_i
),\quad i=1,2,\cdots ,r \)，从而
\[
EX_i =np_i ,\quad DX_i =np_i (1-p_i ),\quad i=1,2,\cdots ,r
\]
可以证明，\( X_i +X_j \sim B(n,p_i +p_j ),\quad i,j=1,2,\cdots ,r,i\ne j \)，因此
\[
E(X_i +X_j )=n(p_i +p_j ),
\]\[
D(X_i +X_j )=n(p_i +p_j )(1-p_i -p_j ),\quad i,j=1,2,\cdots ,r,i\ne j
\]
由于有
\[D(X_i +X_j )=DX_i +DX_j +2cov(X_i ,X_j )\tag{1}\]
所以
\begin{eqnarray}
cov(X_i ,X_j )&=&\frac{1}{2}[DX_i +DX_j -D(X_i +X_j )]\\
&=&\frac{1}{2}[np_i (1-p_i )+np_j (1-p_j )-n(p_i +p_j )(1-p_i -p_j )]\\
&=&-np_i p_j
\end{eqnarray}
则
\[
\rho (X_i ,X_j )=\frac{cov(X_i ,X_j )}{\sqrt {DX_i \cdot DX_j }
}=\frac{-np_i p_j }{\sqrt {n^2p_i p_j (1-p_i )(1-p_j )} }=-\sqrt {\frac{p_i
p_j }{(1-p_i )(1-p_j )}}
\]

例2 （多元超几何分布）设随机向量 \( (X_1 ,\cdots  ,X_r ) \) 服从多元超几何分布：
\[
P\{X_1 =n_1 ,X_2 =n_2 ,\cdots ,X_r =n_r \}=\frac{C_{N_1 }^{n_1 } C_{N_2 }^{n_2 }
\cdots C_{N_r }^{n_r } }{C_N^n }
\]
其中 \( n_1 ,n_2 ,\cdots ,n_r \ge 0\)， \(n_1 +n_2 +\cdots +n_r=n\)， \(N_1 +N_2 +\cdots +N_r =N \)。求相关系数 \( \rho (X_i ,X_j ) \)。

解：类似于多项式分布，可以证明：随机向量 \( (X_1 ,\cdots  ,X_r
) \) 的边缘分布为超几何分布，即

即 \( X_i \sim G(p_i ),\quad i=1,2,\cdots ,r \)，其中 \( p_i =\frac{N_i }{N},\quad q_i
=1-p_i ,\quad i=1,2,\cdots ,r \)。则
\[
EX_i =np_i ,\quad DX_i =\frac{N-n}{N-1}np_i q_i ,\quad i=1,2,\cdots ,r
\]
同样可以证明： \( X_i +X_j \sim G(p_i +p_j ),\quad i,j=1,2,\cdots ,r,i\ne
j \)，（超几何分布）
\[
E(X_i +X_j )=n(p_i +p_j )\]\[D(X_i +X_j )=\frac{N-n}{N-1}n(p_i +p_j
)(1-p_i -p_j ),\quad i=1,2,\cdots ,r
\]
同理，由（1）式，可计算
\[cov(X_i ,X_j )=-\frac{N-n}{N-1}np_i p_j \]
从而可得到：
\[
\rho (X_i ,X_j )=\frac{cov(X_i ,X_j )}{\sqrt {DX_i \cdot DX_j }
}=\frac{-(\frac{N-n}{N-1})np_i p_j }{\sqrt {(\frac{N-n}{N-1})^2n^2p_i p_j
(1-p_i )(1-p_j )} }=-\sqrt {\frac{p_i p_j }{(1-p_i )(1-p_j )}}
\]


结论：这两种分布下的任两个随机变量 \( X_i  \) 与 \( X_j
 \) 不独立，且有放回抽样场合与不放回抽样场合下的多项分布有相同的相关系数。两种场合的数学期望也相同，但方差、协方差则相差一个系数，即有限总体修正因子。