随机变量函数的分布------变量变换法

        分布函数法是求取二维随机变量 \( (X,Y) \) 的函数 \( Z=g(X,Y) \) 的分布的基本方法，其思想是先求得 \( Z \) 的分布函数，再对它微分得到密度函数，即求解过程步骤：
    （1） \( F_{Z}(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint\limits_{D_{g(x,y)\leq z}}f(x,y)dydx \)；
    （2） \( f_{Z}(z)=F'_{Z}(z) \)。
如果 \( U=g_{1}(X,Y) \)，\( V=g_{2}(X,Y) \)，需要求随机向量 \( (U,V) \) 的联合分布，上述过程步骤不能求解。因此这里引入变量变换法。

一、基本思想及微积分回顾
    回顾高等数学多元微分学隐函数求导及重积分坐标系的变换。
                       
相应地，空间坐标系上的三重积分（转换）为
                        
类似地，从概率空间 \( (X,Y) \) 到概率空间 \( (U,V) \) 有坐标变换 \( \left\{
\begin{array}{l}
u=g_{1}(x,y) \\
 v=g_{2}(x,y)
 \end{array}
 \right. \)，则事件A（对应区域 \( D_{A} \) ）的概率 \( P(A) \) 表达为
                             

    由此，我们给出如下定理。

定理：若变换 \( \left\{
\begin{array}{l}
u=g_{1}(x,y) \\
 v=g_{2}(x,y)
 \end{array}
 \right. \)存在唯一的反函数 \( \left\{
\begin{array}{l}
x=x(u,v) \\
 y=y(u,v)
 \end{array}
 \right. \)且变换的雅可比行列式
\[J=\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}=[\frac{\partial (u,v)}{\partial(x,y)}]^{-1}\neq 0\]
则二维随机变量 \( (X,Y) \) 的函数
 \( (U,V) \) 的联合密度函数为
\[
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J|
\]
该定理可以类似推广到 \( n \) 维情形。

二、计算实例
    设随机变量 \( X \) 与 \( Y \) 独立同分布，其密度函数为 \( f_{X}(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
e^{-x},&x>0 \\
 0, & x\le 0
 \end{array}
 \right. \)，求 \( U=X+Y \) 与 \( V=\frac{X}{X+Y} \) 的联合密度 \( f_{U,V}(u,v) \)，并判断 \( U \) 与 \( V \) 是否独立。

解： \(
\left\{
\begin{array}{l}
u=x+y \\
v=x/{x+y}
 \end{array}
 \right. \)的反函数为 \(
\left\{
\begin{array}{l}
x=uv\\
y=u(1-v)
 \end{array}
 \right. \)，则雅可比 \( J=\frac{\partial{(x,y)}}{\partial(u,v)}=-u \)，所以在 \( (U,V) \) 的可能取值范围 \( \{u>0,0<v<1\} \) 内，有
\begin{eqnarray}
f_{U,V}(u,v)&=&f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J|\\
&=&f_{X}(uv)f_{Y}(u(1-v))|-u|\\
&=&e^{-uv}e^{-u(1-v)}u\\
&=&e^{-u}u
\end{eqnarray}
容易求得 \( U,V \) 的各自的密度函数：
\[
f_{U}(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{U,V}(u,v)dv=\int_{0}^{1}e^{-u}udu=e^{-u}du,\ \ u>0
\]
\[
f_{V}(v)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{U,V}(u,v)du=\int_{0}^{+\infty}e^{-u}du=1,\ \ u>0
\]
显然，\( f_{U,V}(u,v)=f_{U}(u)f_{V}(v) \)，所以，随机变量 \( U \) 与 \( V \) 是独立的。