数学期望的由来

        布莱士.帕斯卡（Blaise Pascal）公元1623年6月19日出生于多姆山省奥弗涅地区的克莱蒙费朗，法国数学家、物理学家、哲学家、散文家。

                                           
在与费马（Pierre Fermat）的通信中讨论赌金分配问题，对早期概率论的发展颇有影响。
                                                   
期望的含义是对未来的预期，这里来源于17世纪法国著名数学家帕斯卡曾经研究过的分赌本问题：甲乙二人赌技相同，各出赌金500元，约定先胜三局者为赢家，并取得全部1000元。假设赌局进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了赌局，问赌本该如何分配才比较公平？

    帕斯卡的研究是，不能按已经有的1比2的赌局来分，而应该向后看，从未来的预期获得来考虑赌本的分配。如果继续赌下去，只需两局一定分出胜负，其结果不外乎出现四种情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，显然甲有 \( \frac{3}{4} \) 的概率获得1000元；而有 \( \frac{1}{4} \) 的概率获得0元。所以，在甲胜2局乙胜l局这种情况下，甲``期望''得到的赌金应为
\[1000\times \frac{3}{4}+0\times \frac{1}{4}=750\]
该故事出现了``期望''这个词，数学期望由此而来。由此可见，期望代表未来的预期，有着中心化的特征。由此，我们便习惯地称随机变量的平均值为数学期望。

数学期望的一些特例

1. 连续型随机变量的数学期望不存在的特例

设 \( X \) 服从柯西分布，其密度函数为
\[
f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},\quad -\infty <x<+\infty
\]
由密度 \( f(x) \) 的形式可知，\( X \) 的中心点应为0。但0却不是 \( X \) 的数学期望，因为
\[
\int_{-\infty }^{+\infty } {\left| x \right|f(x)dx} =\frac{1}{\pi
}\int_0^{+\infty } {\frac{2x}{1+x^2}} dx=\frac{1}{\pi }\left[ {\ln (1+x^2)}
\right]_0^{+\infty } =+\infty
\]
由数学期望定义知，柯西分布 \( X \) 的数学期望不存在。

注记：物理学家也将更一般的柯西分布称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner分布。在物理学中它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。带有参数 \( \theta
 \) 的柯西分布密度如下：
\[f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+(x-\theta )^2},\quad -\infty <x<+\infty \tag{1}\]
图形特例为：
                          

2. 离散型随机变量数学期望不存在的特例

设随机变量 \( X \) 的分布律为
\[P\left\{ {X=(-1)^i\frac{2^i}{i}}
\right\}=\frac{1}{2^i},i=1,2,\cdots \]
易得
\[\sum\limits_{i=1}^{+\infty } {\left|
{a_i } \right|} P\{X=a_i \}=\sum\limits_{i=1}^{+\infty } {\frac{1}{i}}
=\infty \]
所以 \( EX \) 不存在。

    对于连续（离散）型随机变量积分（级数）没有绝对收敛时，随机变量 \( X \) 可能有多个不同的期望值，失去了平均值的客观意义。虽然我们就离散型和连续型都给出期望不存在的例子，但总的说来，随机变量的期望不存在的情况还是较少见的。

3. 数学期望的另一种定义

设 \( X\ge 0 \) 为一非负随机变量，则
\[
EX=\int_0^{+\infty } {P\{X>x\}dx}
\]
证明：根据分部积分公式得到
\[
EX=\int_0^{+\infty } {xdF_x } (x)=-\int_0^{+\infty } {xd} (1-F_X
(x))=\int_0^{+\infty } {P\{X>x\}dx}
\]
例如，设 \( X \) ～ \( \Gamma (1,\lambda )\;(\lambda >0) \)，则
\[
EX=\int_0^{+\infty } {P\{X>x\}dx} =\int_0^{+\infty } {e^{-\lambda
x}dx=\frac{1}{\lambda }}
\]