矩估计法的替换原则

        以样本矩的某一函数去替换总体矩的同一函数来构造估计量的方法称为矩估计法。矩估计法也称为数字特征法。

        矩估计法的原理：用样本矩 \( \hat {E}X^k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i^k }
 \) 或 \( \hat {E}(X-EX)^l=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i^ -\bar {X})^l}
 \) 估计总体矩 \( EX^k \) 或 \( E(X-EX)^l \)，\( k=1,2,\cdots,l=2,3,\cdots \)，其中 \( X_1 ,X_2 , \ldots ,X_n  \) 是来自总体 \( X \) 的样本。其基本思想源于辛钦大数定律。
        如果存在未知参数 \( \theta
 \)，它是各总体矩的函数 \( g(EX^k,E(X-EX)^l) \)，其中 \( g(\cdot
) \) 是已知函数，则可以构造参数 \( \theta  \) 的估计量 \( \hat {\theta } \)，它等于 \( g(\hat
{E}X^k,\hat {E}(X-EX)^l) \)，这就是矩估计法的替换原则。

        例如，总体 \( X \) 的标准差、偏度、峰度其定义如下：
\[
\sigma =\sqrt {EX^2-(EX)^2}
\]\[
\alpha =E\left( {\frac{X-EX}{\sqrt {DX} }}
\right)^3=\frac{E(X-EX)^3}{(EX^2-(EX)^2)^{3/2}}
\]\[
\beta =E\left( {\frac{X-EX}{\sqrt {DX} }}
\right)^4=\frac{E(X-EX)^4}{(EX^2-(EX)^2)^2}
\]则参数 \( \sigma ,\alpha ,\beta  \) 的矩估计量分别为
\[ \hat {\sigma }=\sqrt {\hat {E}X^2-(\hat {E}X)^2} ; \hat {\alpha
}=\frac{\hat {E}(X-\hat {E}X)^3}{(\hat {E}X^2-(\hat {E}X)^2)^{3/2}} ; \hat
{\beta }=\frac{\hat {E}(X-\hat {E}X)^4}{(\hat {E}X^2-(\hat {E}X)^2)^2} \]
具体的样本函数为：
\[ \hat {\sigma }=\sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i^2 } -\bar {X}^2}
 ; \hat {\alpha }=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^3}
}{(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i^2 } -\bar {X}^2)^{3/2}} ; \hat
{\beta }=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^4}
}{(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i^2 } -\bar {X}^2)^2} \]
        这种替换原则方便、简洁，是矩估计法的另一种求解思路。下面再举一个实际例子。

例:  如果 1小时内到达某计算机服务器的信息数 \( X \) (单位：条)服从参数为 \( \lambda  \) 的泊松分布。随机抽取该服务器18个小时到达的信息数数据，如下表所示：
\[\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
11&
10&
9&
11&
12&
9&
13&
8&
10 \\
\hline
11&
14&
12&
7&
10&
11&
8&
10&
11 \\
\hline
\end{array}\]        (1)求参数 \( \lambda  \) 的矩估计量；
        (2)试用矩估计法估计1小时内至少有2条信息到达该计算机服务器的概率。

解：  (1) 由于总体 \( X\sim P(\lambda ) \)，并且，\( EX=\lambda  \) . 设 \( X_1 ,X_2
,\cdots ,X_n  \) 是来自 \( X \) 的样本，则参数 \( \lambda  \) 的矩估计量为
\[\hat {\lambda }_1 =\hat {E}X=\bar {X} \tag{1}\]        (2) 因为1小时内至少有2条信息到达该计算机服务器的概率为
\[\begin{array}{l}
 p=P\left\{ {X\ge 2} \right\}=1-P\left\{ {X=0} \right\}-P\left\{ {X=1}
\right\} \\
 \;\;=1-e^{-\lambda }(1+\lambda )=1-e^{-EX}(1+EX) \\
 \end{array}\tag{2}
\]所以，参数 \( p \) 的矩估计量为
\[\hat {p}_1 =1-e^{-\hat {E}X}(1+\hat {E}X)=1-e^{-\bar {X}}(1+\bar {X})\tag{3}
\]由表中数据计算得： \( \bar {x}\approx
10.39 \)，代入（3）式，得到参数 \( p \) 的矩估计值
\[
\hat {p}_1 \approx 1-e^{-10.39}(1+10.39)\approx 0.9997
\]
        由矩估计法得到结论：1小时内到达该计算机服务器的平均信息数约为10条，1小时内至少有2条信息到达该计算机服务器的概率约为99.97%。