两类错误的概率与样本容量之间的关系

        假设检验是利用样本对某种假设 \( H_0
 \) 作出随机决策的一种方法。由于样本是随机的，当我们运用某种检验原则作判断时，可能作出正确的判断，也可能作出错误的判断，当然希望作出错误判断的概率很小。因此在制定检验原则时就应考虑控制错误判断的概率。一般地，假设检验作出错误判断有两类：
        第Ⅰ类：当原假设 \( H_0  \) 为真时，拒绝了 \( H_0  \) ；
        第Ⅱ类：当原假设 \( H_0  \) 不真时，接受了 \( H_0  \)。
将这两类错判的概率分别记为 \( \alpha ,\beta  \)。

        如果假设已经制定了一个检验原则，如何计算两类错判概率 \( \alpha ,\beta
 \) 呢？它们与样本容量 \( n \) 又具有什么关系呢？请看下面两个例子。

例1：设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n  \) 是来自 \( N(\mu ,1) \) 的样本，假设检验问题： \( H_0
:\mu =2,\quad H_1 :\mu =3 \)，如果该问题的检验原则是：当 \( \bar {x}\ge
2.6 \) 时，拒绝 \( H_0  \)，否则，当 \( \bar {x}<2.6 \) 时，不拒绝 \( H_0  \)。
        试确定：
        1. 两类错判概率 \( \alpha ,\beta  \) 与样本容量 \( n \) 的关系；
        2. 如果使第Ⅱ类错判概率不超过0.01，\( n \) 应该取多大？
解：1. 由两类错误的特征知
\[
\alpha =P\{\bar {X}\ge 2.6\vert H_0 :\mu =2\}=1-\Phi ((2.6-2)\sqrt n
)=1-\Phi (0.6\sqrt n )
\]\[
\beta =P\{\bar {X}<2.6\vert H_1 :\mu =3\}=\Phi ((2.6-3)\sqrt n )=1-\Phi
(0.4\sqrt n )
\]则
\[0.6\sqrt n =u_{1-\alpha } =-u_\alpha \tag{1}
\]\[
0.4\sqrt n =u_{1-\beta } =-u_\beta \tag{2}
\]将（1）（2）两式相加 ，得
\[u_\alpha +u_\beta =-\sqrt n \tag{3}
\]式（3）表明了 \( \alpha ,\beta  \) 与 \( n \) 之间的关系，并且，当 \( n\to \infty
 \) 时，\( u_\alpha +u_\beta \to -\infty  \)，即 \( \alpha \to 0,\beta \to 0 \) 。

        2. 由于 \( \beta =1-\Phi (0.4\sqrt n ) \)，如果 \( \beta \le 0.01 \)，则有 \( \Phi
(0.4\sqrt n )\ge 0.99 \)，那么 \( 0.4\sqrt n \ge u_{0.99} =2.33 \)，从而 \( n\ge
(\frac{2.33}{0.4})^2 \)，即 \( n\ge 34 \)。

例2：设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n  \) 是来自 \( U[0,\;\theta
] \) 的样本，假设检验问题： \( H_0 :\theta \ge 3,\quad H_1 :\theta
<3 \)，如果该问题的检验原则是：当 \( x_{(n)} \le 2.5 \) 时，拒绝 \( H_0
 \)，否则，当 \( x_{(n)} >2.5 \) 时，不拒绝 \( H_0  \)，其中 \( x_{(n)} =\max \{x_1 ,x_2
,\ldots ,x_n \} \)。试确定第Ⅰ类错判概率 \( \alpha  \) 的最大值，即 \( \alpha _{\max }
 \)，并且，如果使 \( \alpha _{\max } \le 0.05 \)，\( n \) 应该取多大？

解：设均匀分布 \( U[0,\;\theta
] \) 的密度函数和分布函数分别为 \( f(x),F(x) \)，由前面随机变量极值函数的分布知，统计量 \( X_{(n)}
=\max \{X_1 ,X_2 ,\ldots ,X_n \} \) 的密度与分布函数分别为：
\[
f_{(n)} (x)=nf(x)[F(x)]^{n-1}=\frac{nx^{n-1}}{\theta ^n},\quad 0\le x\le
\theta
\]\[
F_{(n)} (x)=[F(x)]^n=(\frac{x}{\theta })^n,\quad 0\le x\le \theta
\]根据第Ⅰ类错误的特征知，
\[
\alpha =P\{X_{(n)} \le 2.5\vert H_0 :\theta \ge 3\}=F_{(n)} (2.5\vert \theta
\ge 3)=(\frac{2.5}{\theta })^n\vert \theta \ge 3
\]显然，在 \( \theta \ge 3 \) 的条件下，\( \alpha \le (\frac{2.5}{3})^n \)，即 \( \alpha
_{\max } =(\frac{2.5}{3})^n \)。

        如果使 \( \alpha _{\max } \le 0.05 \)，即 \( (\frac{2.5}{3})^n\le
0.05 \)，由此解出 \( n\ge \frac{\ln 0.05}{\ln 2.5-\ln 3}\approx 16.43 \)，即 \( n\ge
17 \)。