连续型随机变量函数的分布及应用

逆变换法
        设 \( X \) 是连续型随机变量，其密度函数为 \( f_X
(x) \)。随机变量 \( Y=g(X) \)，且存在开集 \( D \) 使得 \( P\left\{ {Y\in D}
\right\}=1 \)。如果函数 \( g(x) \) 的反函数 \( h(y) \) 存在且在 \( D \) 上严格单调可导，则 \( Y=g(X) \) 的密度函数为
\[
f_Y (y)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
 {\vert h'(y)\vert f_X (h(y)),}  & {y\in D}  \\
 {0,}  & \mbox{其他}  \\
\end{array} }} \right.
\]
（一）对数正态分布
        设 \( X\sim N(\mu ,\sigma ^2) \)，采用逆变换法，计算 \( Y=e^X \) 的密度函数 \( f_Y
(y) \)。

        解：易见 \( P\left\{ {Y>0} \right\}=1 \)。\( y=e^x \) 的反函数 \( x=\ln
y \) 是单调可导函数，且 \( \frac{dx}{dy}=\frac{1}{y} \)。

由此得到 \( Y \) 的密度函数
\[
f_Y (y)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
 {\frac{1}{y}f_X (\ln y),}  & {y>0}  \\
 {0,}  & {y\le 0}  \\
\end{array} }} \right.=\left\{ {{\begin{array}{ll}
 {\frac{1}{\sqrt {2\pi } \sigma y}\exp (-\frac{(\ln y-\mu )^2}{2\sigma
^2}),}  & {y>0}  \\
 {0,}  & {y\le 0}  \\
\end{array} }} \right.
\]
此时称 \( Y \) 服从参数为 \( (\mu ,\sigma ^2) \) 的对数正态分布，记作 \( Y\sim
LN(\mu ,\sigma ^2) \) 。密度函数的特征参见图1。
                                                          
该分布应用广泛。例如，服从对数正态分布的有：
        1).绝缘体材料因化学或物理化学的缓慢变化造成的断裂或失效时的使用寿命；
        2).设备故障的维修时间；
        3).家中仅有两个小孩的年龄差。
\(\qquad\qquad {\ldots}{\ldots}\)

（二）威布尔分布
        设 \( X\sim \Gamma (1,1) \)（参数为 \( \lambda
=1 \) 的指数分布），\( a,b \) 为正常数，\( Y=(X/a)^{1/b} \)，则 \( Y \) 服从参数为 \( (a,\;b) \) 的威布尔分布，记为 \( Y\sim
W(a,b) \)。\( Y \) 的密度函数是
\[
f_Y (y)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
 {aby^{b-1}\exp (-ay^b),}  & {y>0}  \\
 {0,}  & {y\le 0}  \\
\end{array} }} \right.
\]
其密度函数图形参见图2。
                                                        
证明：因为 \( P\left\{ {Y>0}
\right\}=1 \)，且 \( y=(x/a)^{1/b} \) 在正半轴区间上严格单调，其反函数 \( x=ay^b \) 的导函数为 \( \frac{dx}{dy}=aby^{b-1} \)。
        采用逆变换法，\( Y \) 的密度函数为
\[
f_Y (y)=aby^{b-1}f_X (ay^b)=\left\{ {\begin{array}{ll}
 aby^{b-1}\exp (-ay^b),& y>0 \\
 0,& y\le 0 \\
 \end{array}} \right.
\]所以 \( Y\sim W(a,b) \)。

        特别地，当 \( b=1 \) 时，威布尔分布 \( W(a,b) \) 就是参数为 \( a \) 的指数分布 \( \Gamma
(1,a) \)。

        实际经验表明许多电子元件和机械设备的使用寿命都可以用威布尔分布描述.凡是由局部部件的失效或故障引起的全局停止运转的设备的寿命常用威布尔分布近似。