当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第2章 一维随机变量及其分布 > 随机变量及其分布 > 拓展知识
设随机变量 \( X \) 的绝对值不大于1,\( P\{X=1\}=\frac{3}{8} \),在事件 \( \{-1<X<1\} \) 出现的条件下,\( X \) 在 \( (-1,\;1) \) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间长度成正比。试确定 \( X \) 的分布函数。
分析:由题设条件,\( \vert X\vert \le 1 \),\( P\{\vert X\vert \le 1\}=1 \),显然。
当 \( x<-1 \) 时,\( F(x)={0} \),当 \( x\ge {1} \) 时,\( F(x)=1 \)
对任意的 \( x\in {(-1},\;1) \),
\[
F(x)=P\{-1<X\le x\}=P{\{-1<}X<1\}P\{-1<X\le x\vert
{-1<}X<1\} \tag{1} \]\[P\{\vert
X\vert
<1\}=1-P\{X=1\}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}
\]\[
P\{-1<X\le x\vert {-1<}X<1\}=c(x+1)
\]其中 \( c \) 为比例系数,\[
P\{-1<X\le x\vert {-1<}X<1\}=c(x+1)
\]\[\mathop {\lim }\limits_{x\to 1} P\{-1<X\le x\vert
{-1<}X<1\}=1,\quad \mathop {\lim }\limits_{x\to 1} c(x+1)=2c\]所以 \( c=\frac{1}{2} \)。有式(1)知,当 \( x\in {(-1},\;1) \) 时,\[
F(x)=\frac{5}{8}\frac{(x+1)}{2}=\frac{5}{16}(x+1)
\]所以\[
F(x)=\left\{ {\begin{array}{ll}
0 & x<-1 \\
\frac{5}{16}(x+1)& -1\le x<1 \\
1& x\ge 1 \\
\end{array}} \right.
\]该函数 \( F(x) \) 曲线如图所示。
结论:该函数 \( F(x) \) 满足(1)非负性;(2)规范性;(3)单调递增性;(4)右连续性;故它是某随机变量 \( X \) 的分布函数。但 \( X \) 非离散型,因为函数 \( F(x) \) 只有一个跳跃点,且不是阶梯形跳跃。\( X \) 也非连续型,因为函数 \( F(x) \) 不是处处连续的。而且,不能表示为某非负函数的变上限积分。
-课程发展概况及概率的三要素
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第一节测试题
-古典概率
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第二节测试题
-几何概率
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第三节测试题
-条件概率与乘法公式
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第四节测试题
-全概率公式
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第五节测试题
-贝叶斯公式
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第六节测试题
-事件的独立性及应用
--讲义下载
--拓展知识
-第一章第七节测试题
-讨论
--“三门”问题
-第一章测试题
-随机变量及其分布
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第一节测试题
-一类离散型随机变量的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第二节测试题
-泊松分布及泊松定理
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第三节测试题
-均匀分布与指数分布
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第四节测试题
-正态分布
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第五节测试题
-连续型随机变量函数的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第二章第六节测试题
-讨论
--分布之间关系
-第二章测试题
-多维随机变量及分布(一)
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第一节测试题
-多维随机变量及分布(二)
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第二节测试题
-边缘分布律和边缘密度
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第三节测试题
-条件分布与随机变量的独立性
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第四节测试题
-随机变量极值的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第五节测试题
-随机变量和的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第六节测试题
-数形结合求解函数的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第三章第七节测试题
-讨论
--分布类的和不变性
-第三章测试题
-数学期望和方差的定义
--讲义下载
--拓展知识
-第四章第一节测试题
-数学期望和方差的应用
--讲义下载
--拓展知识
-第四章第二节测试题
-数学期望的线性性质及应用
--讲义下载
--拓展知识
-第四章第三节测试题
-方差的性质与协方差
--讲义下载
--拓展知识
-第四章第四节测试题
-标准化与相关系数
--讲义下载
--拓展知识
-第四章第五节测试题
-讨论
-第四章测试题
-大数定律
--课程讲义下载
--拓展知识
-第五章第一节测试题
-中心极限定理
--讲义下载
--拓展知识
-第五章第二节测试题
-讨论
--用电量的正态假设
-第五章测试题
-数理统计的基本概念
--讲义下载
--拓展知识
-第六章第一节测试题
-单样本均值统计量的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第六章第二节测试题
-单样本方差统计量的分布
--讲义下载
--拓展知识
-第六章第三节测试题
-讨论
--保险损失分布
-第六章测试题
-什么是参数估计
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第一节测试题
-矩估计
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第二节测试题
-似然原理与似然函数
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第三节测试题
-连续型分布的似然估计
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第四节测试题
-一类离散总体的似然估计
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第五节测试题
-区间估计
--讲义下载
--拓展知识
-第七章第六节测试题
-讨论
--湖中有多少条鱼?
-第七章测试题
-假设检验的基本原理
--讲义下载
--拓展知识
-第八章第一节测试题
-两类错误
--讲义下载
--拓展知识
-第八章第二节测试题
-正态总体均值的检验
--讲义下载
--拓展知识
-第八章第三节测试题
-正态总体方差的检验
--讲义下载
--拓展知识
-第八章第四节测试题
-卡方拟合检验
--讲义加载
--拓展知识
-第八章第五节测试题
-讨论
-第八章测试题
-一元线性回归(最小二乘估计)
--讲义下载
--拓展知识
-第九章第一节测试题
-一元线性回归(相关系数检验)
--讲义下载
--拓展知识
-第九章第二节测试题
-讨论
--火灾损失的因素
-第九章测试题