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                    利用随机变量的和式分解计算期望

        有时直接求一个随机变量的期望比较困难,例如,一辆从机场开往市区的大巴车,求它的平均停车次数,为收集齐一套水浒108张画卡平均约需购多少袋食品等。下面以应用实例说明简易的计算方法。

例1  假设从机场(始点)开往市区(终点)沿途有12个车站,某时段装载了34位乘客,设 \( X \) 表示沿途停车次数,显然,\( X \) 的可能取值 \( 0,1,2,\cdots,12 \),试确定 \( EX \)。

解法一  设 \( A_k=\{\mbox{第 }k\mbox{ 位乘客在沿途某站下车}\},k=1,2,\cdots,34 \),假设每位乘客在沿途某站下车具有等可能性,且他们下车与否具有独立性,则 \( P(A_k
)=\frac{1}{12} \),\( P(A_k A_j
)=(\frac{1}{12})^2 \),则按古典概率可计算 \( X \) 的分布律为
\[
P\{X=0\}=P(\bigcap\limits_{k=1}^{34} {\bar {A}_k }
)=\bigcap\limits_{k=1}^{34} {P(\bar {A}_k } )=\left( {\frac{11}{12}}
\right)^{34}
\]
\[P\{X=1\}=34\times (\frac{1}{12})\times (\frac{11}{12})^{33}+C_{34}^2 \times
(\frac{1}{12})^2\times (\frac{11}{12})^{32}+\cdots +(\frac{1}{12})^{34}\]
\[\cdots \cdots \]
这是一个很复杂的计算过程。

解法二    设 \( X_i =\left\{ {\begin{array}{l}
 1,\quad \mbox{第 }i\mbox{ 站有乘客下车} \\
 0,\quad \mbox{第 }i\mbox{ 站没有乘客下车}
 \end{array}} \right.,\quad i=1,2,\cdots ,12 \)
采用随机变量的和式分解 \( X=\sum\limits_{i=1}^{12} {X_i }  \),且可计算
\[
P\{X_i =0\}=\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34},\quad P\{X_i =1\}=1-\left(
{\frac{11}{12}} \right)^{34}
\]
即 \( X_i \sim B\left(1,\quad 1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34}\right) \),\( EX_i
=1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34} \),所以
\[EX=12\times \left( {1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34}}
\right)\approx 11.377\]
显然,第二种解法简单。

例2  假设有一类有奖销售食品,通常的做法是将一袋封闭包装的食品中放入一张画卡,其规则是有 \( n \) 张不同花样的画卡为一套,只要谁收齐一套就可获大奖。现有108张水浒画卡为一套,求所需购买食品袋数 \( X \) 的数学期望。

解法一   首先求 \( X \) 的分布律,再求 \( EX \)。

    设 \( B_k = \) ``购买的 \( k \) 袋食品收集齐一套108张水浒画卡'',显然 \( k\ge 108 \)  ,设 \( A_i
= \) ``购买的 \( k \) 袋食品中收集到第 \( i \) 张画卡'',\( i=1,2,\cdots ,108 \)  。则  \( B_k
=\bigcap\limits_{i=1}^{108} {A_i }  \),用概率的加法公式,可以计算
\[
P(\bar {B}_k )=P(\mathop \cup \limits_{i=1}^{108} \bar {A}_i
)=\sum\limits_{i=1}^{108} {P(\bar {A}_i )} -\sum\limits_{i\ne j} {P(\bar
{A}_i \bar {A}_j )} +\cdots +(-1)^{107}P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar
{A}_{108} )
\]
根据古典概率的计算方法可计算如下:
\[
P(\bar {A}_i )=(\frac{107}{108})^k,\ i=1,2,\cdots ,108
\]
\[
P(\bar {A}_i \bar {A}_j )=P(\bar {A}_i )P(\bar {A}_j \vert \bar {A}_i
)=(\frac{107}{108})^k\cdot (\frac{106}{107})^k=(\frac{106}{108})^k,\ i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,108
\]
\[
P(\bar {A}_i \bar {A}_j \bar {A}_k )=(\frac{105}{108})^k,\ i\ne j\ne
k,\quad i,j,k=1,2,\cdots ,108
\]
\[\cdots\cdots \]
\[
P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar {A}_{108} )=0
\]
所以
\begin{eqnarray}
P(\bar {B}_k )&=&P(\mathop \cup \limits_{i=1}^{108} \bar {A}_i )\\
&=&C_{108}^1
(\frac{107}{108})^k-C_{108}^2 (\frac{106}{108})^k+C_{108}^3
(\frac{105}{108})^k-\cdots +(-1)^{107}C_{108}^{107} (\frac{1}{108})^k\\
&=&\sum\limits_{i=1}^{108} {(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k}
,k=108,109,\cdots
\end{eqnarray}

\[P(B_k )=1-P(\bar {B}_k )=1-\sum\limits_{i=1}^{108} {(-1)^{i-1}C_{108}^i
(\frac{108-i}{108})^k},\ k=108,109,\cdots \]
则 \( X \) 的分布律为
\[P\{X=k\}=P(B_k )=1-\sum\limits_{i=1}^{108}
{(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k} \]
所以
\[EX=\sum\limits_{k=108}^{+\infty } {kP\{X=k\}}
=\sum\limits_{k=108}^{+\infty } {k\times \left[ {1-\sum\limits_{i=1}^{108}
{(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k} } \right]} \]

解法二  利用随机变量 \( X \) 的和式分解,再求 \( EX \)。

设 \( Y_j
 \) 表示从收集到 \( j-1 \) 张画卡之后到第 \( j \) 张画卡所需购买的食品袋数,则 \( X=\sum\limits_{j=1}^{108}
{Y_j }  \)。
对 \( \forall j=1,2,\cdots ,108 \),\( Y_j \sim Ge(p_j ) \) (几何分布),其中 \( p_j
=\frac{108-(j-1)}{108} \),可计算
\[EY_j =\frac{1}{p_j }=\frac{108}{108-j+1},\ j=1,2,\cdots ,108\]
所以
\begin{eqnarray}
EX&=&\sum\limits_{j=1}^{108} {EY_j } =\sum\limits_{j=1}^{108}
{\frac{108}{108-j+1}} \\
&=&108\times (\frac{1}{108}+\frac{1}{107}+\frac{1}{106}+\cdots
+\frac{1}{2}+1)\\
&\approx& 108\ln (108)\\
&=&505.67.
\end{eqnarray}
利用随机变量和式分解技巧去计算期望,大大降低了计算的难度,很容易得到结论。例2中,\( Y_1
,\cdots  ,Y_{108}
 \) 相互独立,但它们不同分布,也能求解 \( X=\sum\limits_{j=1}^{108} {Y_j }
 \) 的数学期望。

思考:
1. 考虑求解例2中随机变量 \( X \) 的方差 \( DX \);
2. 采用随机变量的和式分解技巧,如何求超几何分布、负二项分布的数学期望。

下一节:方差的性质与协方差(荣腾中)-11:15min

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概率论与数理统计课程列表:

第1章 随机事件与概率

-课程发展概况及概率的三要素

--课程发展概况及概率的三要素(刘琼荪)--9:09min

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-第一章第一节测试题

-古典概率

--古典概率(黎雅莲)--8:27min

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-第一章第二节测试题

-几何概率

--几何概率(李曼曼)--7:01

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-第一章第三节测试题

-条件概率与乘法公式

--条件概率及乘法公式(刘琼荪)--8:00min

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-第一章第四节测试题

-全概率公式

--全概率公式(荣腾中)--9.57min

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-第一章第五节测试题

-贝叶斯公式

--贝叶斯公式(荣腾中)-10:00min

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-第一章第六节测试题

-事件的独立性及应用

--事件的独立性及应用(刘琼荪)--9:53min

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-第一章第七节测试题

-讨论

--“三门”问题

-第一章测试题

第2章 一维随机变量及其分布

-随机变量及其分布

--随机变量及其分布(刘琼荪)--8:05min

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-第二章第一节测试题

-一类离散型随机变量的分布

--一类离散型随机变量的分布(李曼曼)--08:57min

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-第二章第二节测试题

-泊松分布及泊松定理

--泊松分布与泊松定理(李曼曼)--7:40min

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-第二章第三节测试题

-均匀分布与指数分布

--均匀分布与指数分布(李曼曼)--08:36min

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-第二章第四节测试题

-正态分布

--正态分布(刘琼荪)--8:40min

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-第二章第五节测试题

-连续型随机变量函数的分布

--连续型随机变量函数的分布(黎雅莲)--09:58min

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-第二章第六节测试题

-讨论

--分布之间关系

-第二章测试题

第3章 多维随机变量及其分布

-多维随机变量及分布(一)

--多维随机变量及其分布(一)(李曼曼)-08:03

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-第三章第一节测试题

-多维随机变量及分布(二)

--多维随机变量及其分布(二)(李曼曼)-06:16min

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-第三章第二节测试题

-边缘分布律和边缘密度

--边缘分布律与边缘密度(黎雅莲)-07:55min

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-第三章第三节测试题

-条件分布与随机变量的独立性

--条件分布与随机变量的独立性(黎雅莲)-11:15min

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-第三章第四节测试题

-随机变量极值的分布

--随机变量的极值分布(荣腾中)-09:55min

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-第三章第五节测试题

-随机变量和的分布

--随机变量和的分布(荣腾中)-10:02min

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-第三章第六节测试题

-数形结合求解函数的分布

--数形结合求解函数的分布(荣腾中)-08:59min

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-第三章第七节测试题

-讨论

--分布类的和不变性

-第三章测试题

第4章 随机变量的数字特征

-数学期望和方差的定义

--数学期望与方差的定义(李曼曼)-07:25min

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-第四章第一节测试题

-数学期望和方差的应用

--数学期望和方差的应用(荣腾中)-08:59min

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-第四章第二节测试题

-数学期望的线性性质及应用

--数学期望的线性性质和应用(荣腾中)-08:56min

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-第四章第三节测试题

-方差的性质与协方差

--方差的性质与协方差(荣腾中)-11:15min

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-第四章第四节测试题

-标准化与相关系数

--标准化与相关系数(荣腾中)-11:24min

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-第四章第五节测试题

-讨论

--相关关系与因果关系

-第四章测试题

第5章 极限定理

-大数定律

--大数定律(胥斌)-13:17min

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-第五章第一节测试题

-中心极限定理

--中心极限定理(胥斌)-09:48min

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--中心极限定理动态演示

--拓展知识

-第五章第二节测试题

-讨论

--用电量的正态假设

-第五章测试题

第6章 数理统计的基本概念

-数理统计的基本概念

--数理统计的基本概念(刘琼荪)-10:12min

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-第六章第一节测试题

-单样本均值统计量的分布

--单样本均值统计量的分布(刘琼荪)-12:05min

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-第六章第二节测试题

-单样本方差统计量的分布

--单样本方差统计量的分布(刘琼荪)-10:40min

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-第六章第三节测试题

-讨论

--保险损失分布

-第六章测试题

第7章 参数估计

-什么是参数估计

--参数与参数空间(荣腾中)-07:08min

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-第七章第一节测试题

-矩估计

--矩估计(荣腾中)-09:14min

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-第七章第二节测试题

-似然原理与似然函数

--似然原理与似然函数(荣腾中)-10:47min

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-第七章第三节测试题

-连续型分布的似然估计

--连续型分布的似然估计(荣腾中)-07:41min

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-第七章第四节测试题

-一类离散总体的似然估计

--一类离散型分布的似然估计(荣腾中)-09:51min

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-第七章第五节测试题

-区间估计

--区间估计(荣腾中)-11:08min

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-第七章第六节测试题

-讨论

--湖中有多少条鱼?

-第七章测试题

第8章 假设检验

-假设检验的基本原理

--假设检验的基本原理(荣腾中)-13:18min

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--拓展知识

-第八章第一节测试题

-两类错误

--两类错误(荣腾中)-11:37min

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--拓展知识

-第八章第二节测试题

-正态总体均值的检验

--单正态总体均值的假设检验(荣腾中)-12:59min

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--拓展知识

-第八章第三节测试题

-正态总体方差的检验

--单正态总体方差的假设检验(荣腾中)-09:25min

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--拓展知识

-第八章第四节测试题

-卡方拟合检验

--卡方拟合检验(刘琼荪)-08:37min

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--拓展知识

-第八章第五节测试题

-讨论

--有没有第II类错误?

-第八章测试题

第9章 回归分析

-一元线性回归(最小二乘估计)

--一元线性回归—最小二乘估计(黎雅莲)-11:10min

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--拓展知识

-第九章第一节测试题

-一元线性回归(相关系数检验)

--相关系数检验(黎雅莲)-08:42min

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--拓展知识

-第九章第二节测试题

-讨论

--火灾损失的因素

-第九章测试题

拓展知识笔记与讨论

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