当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第4章 随机变量的数字特征 > 数学期望的线性性质及应用 > 拓展知识
有时直接求一个随机变量的期望比较困难,例如,一辆从机场开往市区的大巴车,求它的平均停车次数,为收集齐一套水浒108张画卡平均约需购多少袋食品等。下面以应用实例说明简易的计算方法。
例1 假设从机场(始点)开往市区(终点)沿途有12个车站,某时段装载了34位乘客,设 \( X \) 表示沿途停车次数,显然,\( X \) 的可能取值 \( 0,1,2,\cdots,12 \),试确定 \( EX \)。
解法一 设 \( A_k=\{\mbox{第 }k\mbox{ 位乘客在沿途某站下车}\},k=1,2,\cdots,34 \),假设每位乘客在沿途某站下车具有等可能性,且他们下车与否具有独立性,则 \( P(A_k
)=\frac{1}{12} \),\( P(A_k A_j
)=(\frac{1}{12})^2 \),则按古典概率可计算 \( X \) 的分布律为
\[
P\{X=0\}=P(\bigcap\limits_{k=1}^{34} {\bar {A}_k }
)=\bigcap\limits_{k=1}^{34} {P(\bar {A}_k } )=\left( {\frac{11}{12}}
\right)^{34}
\]
\[P\{X=1\}=34\times (\frac{1}{12})\times (\frac{11}{12})^{33}+C_{34}^2 \times
(\frac{1}{12})^2\times (\frac{11}{12})^{32}+\cdots +(\frac{1}{12})^{34}\]
\[\cdots \cdots \]
这是一个很复杂的计算过程。
解法二 设 \( X_i =\left\{ {\begin{array}{l}
1,\quad \mbox{第 }i\mbox{ 站有乘客下车} \\
0,\quad \mbox{第 }i\mbox{ 站没有乘客下车}
\end{array}} \right.,\quad i=1,2,\cdots ,12 \)
采用随机变量的和式分解 \( X=\sum\limits_{i=1}^{12} {X_i } \),且可计算
\[
P\{X_i =0\}=\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34},\quad P\{X_i =1\}=1-\left(
{\frac{11}{12}} \right)^{34}
\]
即 \( X_i \sim B\left(1,\quad 1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34}\right) \),\( EX_i
=1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34} \),所以
\[EX=12\times \left( {1-\left( {\frac{11}{12}} \right)^{34}}
\right)\approx 11.377\]
显然,第二种解法简单。
例2 假设有一类有奖销售食品,通常的做法是将一袋封闭包装的食品中放入一张画卡,其规则是有 \( n \) 张不同花样的画卡为一套,只要谁收齐一套就可获大奖。现有108张水浒画卡为一套,求所需购买食品袋数 \( X \) 的数学期望。
解法一 首先求 \( X \) 的分布律,再求 \( EX \)。
设 \( B_k = \) ``购买的 \( k \) 袋食品收集齐一套108张水浒画卡'',显然 \( k\ge 108 \) ,设 \( A_i
= \) ``购买的 \( k \) 袋食品中收集到第 \( i \) 张画卡'',\( i=1,2,\cdots ,108 \) 。则 \( B_k
=\bigcap\limits_{i=1}^{108} {A_i } \),用概率的加法公式,可以计算
\[
P(\bar {B}_k )=P(\mathop \cup \limits_{i=1}^{108} \bar {A}_i
)=\sum\limits_{i=1}^{108} {P(\bar {A}_i )} -\sum\limits_{i\ne j} {P(\bar
{A}_i \bar {A}_j )} +\cdots +(-1)^{107}P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar
{A}_{108} )
\]
根据古典概率的计算方法可计算如下:
\[
P(\bar {A}_i )=(\frac{107}{108})^k,\ i=1,2,\cdots ,108
\]
\[
P(\bar {A}_i \bar {A}_j )=P(\bar {A}_i )P(\bar {A}_j \vert \bar {A}_i
)=(\frac{107}{108})^k\cdot (\frac{106}{107})^k=(\frac{106}{108})^k,\ i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,108
\]
\[
P(\bar {A}_i \bar {A}_j \bar {A}_k )=(\frac{105}{108})^k,\ i\ne j\ne
k,\quad i,j,k=1,2,\cdots ,108
\]
\[\cdots\cdots \]
\[
P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar {A}_{108} )=0
\]
所以
\begin{eqnarray}
P(\bar {B}_k )&=&P(\mathop \cup \limits_{i=1}^{108} \bar {A}_i )\\
&=&C_{108}^1
(\frac{107}{108})^k-C_{108}^2 (\frac{106}{108})^k+C_{108}^3
(\frac{105}{108})^k-\cdots +(-1)^{107}C_{108}^{107} (\frac{1}{108})^k\\
&=&\sum\limits_{i=1}^{108} {(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k}
,k=108,109,\cdots
\end{eqnarray}
故
\[P(B_k )=1-P(\bar {B}_k )=1-\sum\limits_{i=1}^{108} {(-1)^{i-1}C_{108}^i
(\frac{108-i}{108})^k},\ k=108,109,\cdots \]
则 \( X \) 的分布律为
\[P\{X=k\}=P(B_k )=1-\sum\limits_{i=1}^{108}
{(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k} \]
所以
\[EX=\sum\limits_{k=108}^{+\infty } {kP\{X=k\}}
=\sum\limits_{k=108}^{+\infty } {k\times \left[ {1-\sum\limits_{i=1}^{108}
{(-1)^{i-1}C_{108}^i (\frac{108-i}{108})^k} } \right]} \]
解法二 利用随机变量 \( X \) 的和式分解,再求 \( EX \)。
设 \( Y_j
\) 表示从收集到 \( j-1 \) 张画卡之后到第 \( j \) 张画卡所需购买的食品袋数,则 \( X=\sum\limits_{j=1}^{108}
{Y_j } \)。
对 \( \forall j=1,2,\cdots ,108 \),\( Y_j \sim Ge(p_j ) \) (几何分布),其中 \( p_j
=\frac{108-(j-1)}{108} \),可计算
\[EY_j =\frac{1}{p_j }=\frac{108}{108-j+1},\ j=1,2,\cdots ,108\]
所以
\begin{eqnarray}
EX&=&\sum\limits_{j=1}^{108} {EY_j } =\sum\limits_{j=1}^{108}
{\frac{108}{108-j+1}} \\
&=&108\times (\frac{1}{108}+\frac{1}{107}+\frac{1}{106}+\cdots
+\frac{1}{2}+1)\\
&\approx& 108\ln (108)\\
&=&505.67.
\end{eqnarray}
利用随机变量和式分解技巧去计算期望,大大降低了计算的难度,很容易得到结论。例2中,\( Y_1
,\cdots ,Y_{108}
\) 相互独立,但它们不同分布,也能求解 \( X=\sum\limits_{j=1}^{108} {Y_j }
\) 的数学期望。
思考:
1. 考虑求解例2中随机变量 \( X \) 的方差 \( DX \);
2. 采用随机变量的和式分解技巧,如何求超几何分布、负二项分布的数学期望。
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