当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第2章 一维随机变量及其分布 > 泊松分布及泊松定理 > 拓展知识
（一）泊松分布
背景：单位时间（单位面积，单位产品等）上稀有事件（指不经常发生的事件）发生的次数 \( X \) 服从泊松分布 \( P(\lambda
) \)，其中 \( \lambda \) 为该稀有事件发生的强度。\( X \) 的分布律为：
\[
P\{X=k\}=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda },\quad k=0,1,2,\cdots
\]
几个特殊泊松分布的图形如下：
性质：
1. 随着参数 \( \lambda
\) 取值逐渐增大，泊松分布分布律的峰值逐渐减小，而峰值所在位置逐渐右移，分布律越来越对称.
2. 泊松定理演示实验
（二）应用
近几十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。在理论研究和实际应用中都很重要，已应用到很多领域，例如：
(1) 泊松分布最早的应用之一是用来建立一定时间来源于射线源的 \( \alpha
\) 粒子数模型。
(2) 来到某公共设施要求给予服务的顾客数，诸如百货商店的销售员，工厂的仓库保管员，机场跑道，港口装卸货物的设备等，在排队论中应用广泛。
(3) 用泊松分布描述给定时间范围内大群体中的奇异保险事件发生个数。
(4) 事故、错误、故障、火灾、地震及其他灾害性的事故数。
（三）泊松流
泊松流是服从泊松分布的随机变量概念的推广。源源不断到来的质点，称为{流}。这里质点可以是空间粒子、商场顾客、红绿灯路口的车辆，从而形成粒子流、顾客流、车流等。
定义 ：设某个流在 \( (0,t] \) 时段内到达的质点数为 \( X_{(0,t]}
\)，记 \( p_k (t)=P\{X_{(0,t]} =k\} \)，\( k\in Z=\{0,1,2,\cdots\} \)，\( t\ge
0 \)，称 \( \{X_{(0,t]} ,\;t\ge 0\} \) 为泊松流。它具有如下特点：
（1）平稳性 在时间 \( _{ }(t,\;t+\Delta
t) \) 内流过的质点数的概率仅与 \( \Delta t \) 有关，与 \( t \) 无关；
（2）无后效性 不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；
（3）普通性
瞬间流过2个或2个以上的质点几乎不可能，即仅流过0或1个质点。
（4）有限性 在任意有限长的时段内只流过有限多个质点。
泊松流的应用非常广泛。例如，电话交换台收到的呼叫次数、系统的故障流、交通枢纽的车流、大商场中的人流、某网站的访问次数等。
定理 ：如果 \( \{X_{(0,t]} ,\;t\ge
0\} \) 是泊松流，则存在某正数 \( \lambda \)，使得
\[
p_k (t)=P\{X_{(0,t]} =k\}=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda
t},{ }k=0,1,2,\cdots \tag{1}
\]
特别地，当 \( t=1 \) 时，式(1)就是参数为 \( \lambda
\) 的泊松分布，即单位时间内流过的质点数 \( X_{(0,1]} \) 服从泊松分布。
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