双正态总体的检验统计量及分布

引例： 某食品生产厂家宣传声称，高纤维含量的谷物食品除了能够降低各种癌症的发病率外，也具有减肥的功效。为此，随机调查了27人，其中食用高纤维谷物的有10人，不食用高纤维谷物的有17人。下表是这两类人的午餐中卡路里含量数据。假设卡路里含量服从正态分布，依据抽样数据，问高纤维组与非高纤维组人的午餐卡路里含量是否显著不同？
\[
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
\mbox{高纤维组 }x_i&
592.77& 602.01& 612.87&711.56& 608.60&  608.74\\
&  647.61& 565.57& 537.57&498.23 &&\\
\hline
\mbox{非高纤维组 }y_j &
675.15& 611.67 &669.14& 671.22 &726.03& 690.35\\
&668.78&750.75 &715.91& 631.21 & 757.89& 605.56\\
& 680.58 &780.92&766.31&782.33&758.11& \\
\hline
\end{array}
\]假设以上两组数据 \( (x_1 ,\cdots ,x_{10} ),(y_1 ,\cdots ,y_{17}
) \) 分别来自两个正态总体 \( N(\mu _X ,\sigma _X ^2) \)，\( N(\mu _Y ,\sigma _Y
^2) \)。如果 \( \mu _X =\mu _Y  \)，\( \sigma _X^2 =\sigma _Y^2
 \)，则表明这两组数据无显著差异否则，它们有差异。

    要回答该问题需要采用假设检验的方法，其关键就是选择检验统计量和确定它的分布有如下的理论支撑。

定理： 设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n  \) 与 \( Y_1 ,Y_2 ,\cdots ,Y_m
 \) 分别是来自总体 \( N(\mu _X ,\sigma _X^2 ) \) 与 \( N(\mu _Y ,\sigma _Y^2
) \) 的样本，且两组样本相互独立，\( \bar {X},\bar {Y},S_X^2 ,S_Y^2
 \) 分别表示样本均值与样本方差，则
（1）\[\frac{S_X^2 /S_Y^2 }{\sigma _X^2 /\sigma _Y^2 }\sim F(n-1,m-1)\]
（2）如果 \( \sigma _X^2 =\sigma _Y^2 =\sigma ^2 \)，\[\frac{(\bar {X}-\bar
{Y})-(\mu _X -\mu _Y )}{S_w \sqrt {\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} }\sim
t(n+m-2)\]
其中 \( S_w^ =\sqrt {\frac{(n_X -1)S_X^2 +(n_Y -1)S_Y^2 }{n_X +n_Y -2}}  \)。

   该定理用到了 \( F \) 分布，它与 \( t \) 分布个 \( \chi^2 \) 分布同等重要，称它们为统计学中的''三大分布''。

 \( F \) 分布的定义
    设 \( X\sim \chi ^2(n) \)，\( Y\sim \chi ^2(m) \)，且 \( X \) 与 \( Y \) 相互独立。则称随机变量
\[
F=\frac{X/n}{Y/m}
\]服从参数为 \( n \) 和 \( m \) 的 \( F \) 分布，记为 \( F\sim
F(n,m) \)。其中，\( n \) 和 \( m \) 称为 \( F \) 分布的第一自由度和第二自由度。

    可以证明：第一自由度为 \( n \)，第二自由度为 \( m \) 的 \( F \) 分布的密度函数为
\[
f(x)=\left\{ {\begin{array}{ll}
 \frac{\Gamma \left( {\frac{n+m}{2}} \right)}{\Gamma \left( {\frac{n}{2}}
\right)\Gamma \left( {\frac{m}{2}} \right)}\left( {\frac{n}{m}}
\right)^{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}\left( {1+\frac{nx}{m}}
\right)^{-\frac{n+m}{2}},&x>0 \\
0,& x\le 0 \\
 \end{array}} \right.
\]当自由度 \( n \) 和 \( m \) 取不同值时，\( F \) 分布的密度函数曲线如图1所示。
                                   

 \( F \) 分布具有如下性质：

    性质1：若 \( F\sim F(n,m) \)，则 \( \frac{1}{F}\sim F(m,n) \)
    性质2：若 \( T\sim t(n) \)，则 \( T^2\sim F(1,n) \)

请同学们自己证明。

例：设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_8  \) 是来自正态总体 \( X\sim N(0,2^2) \) 的样本。令
\[
Y=\frac{(X_1 -X_2 )^2+(X_3 +X_4 )^2}{\sum\limits_{i=5}^8 {X_i^2 } }
\]利用 \( F \) 分布的定义，试判断统计量 \( Y \) 的分布。

解：因 \( X_1 -X_2 \sim N(0,8) \)，\( X_3 +X_4 \sim N(0,8) \)，故
\[\frac{X_1 -X_2 }{2\sqrt 2 }\sim N(0,1),\frac{X_3 +X_4 }{2\sqrt 2 }\sim
N(0,1)\]则\[Y_1 =\frac{(X_1 -X_2 )^2}{8}+\frac{(X_3 +X_4 )^2}{8}\sim \chi ^2(2)\]
同时，\( \frac{X_i }{2}\sim N(0,1) \)，\( i=5,6,7,8 \)。则
\[Y_2 =\frac{1}{4}\sum\limits_{i=5}^8 {X_i^2 } \sim \chi ^2(4)\]
又因 \( Y_1  \) 和 \( Y_2  \) 相互独立，则由 \( F \) 分布的定义得\[
Y=\frac{Y_1 /2}{Y_2 /4}=\frac{(X_1 -X_2 )^2+(X_3 +X_4
)^2}{\sum\limits_{i=5}^8 {X_i^2 } }\sim F(2,4)
\]
注意： \( F \) 分布的定义中的条件。

 \( F \) 分布是作为方差比值的分布而自然产生的，在统计推断中具有重要作用。对两个正态总体方差相等的假设检验、方差分析中总体是否相等的检验以及回归分析中回归模型显著性检验等，都需要构造服从 \( F \) 分布的检验统计量。
    在引例中，如果将高纤维含量的谷物食品分为高、中、低三类，做试验获得三组样本数据，欲鉴别这三组数据是否有显著差异。如果假定三组数据都来自同方差的正态分布，则问题转换为三个正态总体的理论均值是否相等的问题，这就是方差分析的问题，需要用到 \( F \) 统计量和它的分布。

    为了使同学们掌握三大分布，试根据它们的分布定义，思考如下题目：

思考题1：设 \( X_1 ,X_2 \sim N(0,1) \)，且 \( X_1 ,X_2  \) 相互独立，试确定常数 \( c \)，使得
\[
P\left\{ {\frac{(X_1 +X_2 )^2}{(X_1 +X_2 )^2+(X_1 -X_2 )^2}>c} \right\}=0.1
\]
思考题2：设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_m ,X_{m+1} ,\cdots ,X_{m+n}  \) 是来自总体 \( X\sim
N(0,\sigma ^2) \) 的样本，试确定下来统计量的分布：
    1） \( Y_1 =\frac{\sqrt n \sum\limits_{i=1}^m {X_i } }{\sqrt m \sqrt
{\sum\limits_{i=m+1}^{m+n} {X_i^2 } } } \)；
    2） \( Y_2 =\frac{n\sum\limits_{i=1}^m {X_i^2 }
}{m\sum\limits_{i=m+1}^{m+n} {X_i^2 } } \)；
    3） \( Y_3 =\frac{1}{m\sigma ^2}\left( {\sum\limits_{i=1}^m {X_i } }
\right)^2+\frac{1}{n\sigma ^2}\left( {\sum\limits_{i=m+1}^{m+n} {X_i
} } \right)^2 \).