当前课程知识点:概率论与数理统计 >  第6章 数理统计的基本概念 >  单样本均值统计量的分布 >  拓展知识

返回《概率论与数理统计》慕课在线视频课程列表

拓展知识资料文件与下载

拓展知识

                     计算机模拟样本均值的分布

    设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n  \) 是来自总体 \( X \) 的样本,样本均值为 \( \bar
{X} \),那么 \( \bar {X} \) 的分布精确或近似服从正态分布,条件与结论归纳为如下定理。

定理   设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n  \) 是来自总体 \( X \) 的样本,则:
    (1) 如果总体分布为 \( N(\mu ,\;\sigma ^2) \),则 \( \bar {X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma
^2}{n}) \) 或 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n }\sim N\left( {0,1}
\right) \);
    (2) 如果总体不是正态分布或分布未知,且 \( E(X)=\mu  \),\( D(X)=\sigma
^2 \) 存在,则当样本容量 \( n \) 较大时,\( \bar {X} \) 近似服从 \( N(\mu ,\frac{\sigma
^2}{n}) \) 或 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n } \) 近似服从 \( N\left( {0,1}
\right) \)。
证明:(1) 因为 \( \bar {X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i }
 \),由正态分布的线性可加性可知 \( \bar {X}\sim N\left( {E\bar {X},D\bar {X}}
\right) \)。因为\[E(\bar {X})=\mu , D(\bar {X})=\frac{\sigma ^2}{n}\]所以\[\bar {X}\sim N\left( {\mu ,\frac{\sigma ^2}{n}} \right)\ or\ \frac{\bar
{X}-\mu }{\sigma /\sqrt n }\sim N\left( {0,1} \right)\]
(2) 由中心极限定理可得:当 \( n\to \infty  \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma
/\sqrt n }\buildrel L \over \longrightarrow N\left( {0,1}
\right) \),即 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n } \) 近似服从 \( N\left( {0,1}
\right) \)。

    下面,用计算机模拟该结论。
例1   设总体 \( X\sim N(2,4^2) \),现从总体 \( X \) 中每次抽取容量为5的样本 \( X_1 ,X_2
,\cdots ,X_5  \),共1000次,具体样本值如表1所示。
\[\mbox{表1 正态总体的随机抽样}\]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mbox{ 抽样 }\backslash \mbox{ 样本值 }&
\mbox{ 第1次 }&
\mbox{ 第2次 }&
{\cdots}&
\mbox{ 第999次 }&
\mbox{ 第1000次 }\\
\hline
x_1 &
5.514&
3.879&
{\cdots}&
6.615&
-4.761 \\
\hline
x_2 &
9.231&
9.474&
{\cdots}&
5.272&
2.540 \\
\hline
x_3 &
-1.006&
4.928&
{\cdots}&
-5.427&
4.428 \\
\hline
x_4 &
-0.377&
0.212&
{\cdots}&
7.321&
4.329 \\
\hline
x_5 &
-6.276&
0.097&
{\cdots}&
5.864&
6.659 \\
\hline
\mbox{ 样本均值 }\bar {x}&
1.4172&
3.718&
{\cdots}&
3.929&
2.639 \\
\hline
\end{array}
\]
对每一组样本值 \( (x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_5 ) \),计算对应的样本均值为 \( \bar
{x} \),则有1000个样本均值。现对1000个样本均值绘制直方图,如图1所示。
                                  
由图1可见,样本均值的直方图很像正态分布的密度函数曲线图,这与定理(1)的结论一致。

例2 设总体分别为:
        ①  \( X\sim U[1,\;5] \);
        ②  \( X\sim f(x)=\left\{
{\begin{array}{ll}
 (3-x)/4,& 1\le x<3 \\
 (x-3)/4,& 3\le x<5 \\
 0, &\mbox{其他} \\
 \end{array}} \right. \) (倒三角形);
        ③ 指数分布 \( X\sim \Gamma (1,\;1) \)。

随着样本容量 \( n \) 的增加,样本均值 \( \bar{X} \) 的抽样分布渐近于正态分布。它们的均值相同,但方差则缩小为原方差的 \( 1/n \)。如图2所示。
                                   
以上三个总体都不是正态总体,但其样本均值的分布都近似于正态分布,区别于均值和方差上。

例3   假设 \( X\sim N(0,1) \),①  \( Y\sim t(10) \);②  \( Y\sim
t(30) \),随着 \( t \) 分布的自由度 \( n \) 的增加,其密度函数近似于标准正态分布。用计算机模拟了该结果,如下图所示。
                      
该模拟结果表明:
    当 \( n<30 \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{S/\sqrt n }\sim t(n-1) \);
    当 \( n\ge 30 \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{S/\sqrt n }\sim N(0,1) \)(近似);
说明,\(t\) 分布适合于小样本时的统计推断。

下一节:单样本方差统计量的分布(刘琼荪)-10:40min

返回《概率论与数理统计》慕课在线视频列表

概率论与数理统计课程列表:

第1章 随机事件与概率

-课程发展概况及概率的三要素

--课程发展概况及概率的三要素(刘琼荪)--9:09min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第一节测试题

-古典概率

--古典概率(黎雅莲)--8:27min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第二节测试题

-几何概率

--几何概率(李曼曼)--7:01

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第三节测试题

-条件概率与乘法公式

--条件概率及乘法公式(刘琼荪)--8:00min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第四节测试题

-全概率公式

--全概率公式(荣腾中)--9.57min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第五节测试题

-贝叶斯公式

--贝叶斯公式(荣腾中)-10:00min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第六节测试题

-事件的独立性及应用

--事件的独立性及应用(刘琼荪)--9:53min

--讲义下载

--拓展知识

-第一章第七节测试题

-讨论

--“三门”问题

-第一章测试题

第2章 一维随机变量及其分布

-随机变量及其分布

--随机变量及其分布(刘琼荪)--8:05min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第一节测试题

-一类离散型随机变量的分布

--一类离散型随机变量的分布(李曼曼)--08:57min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第二节测试题

-泊松分布及泊松定理

--泊松分布与泊松定理(李曼曼)--7:40min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第三节测试题

-均匀分布与指数分布

--均匀分布与指数分布(李曼曼)--08:36min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第四节测试题

-正态分布

--正态分布(刘琼荪)--8:40min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第五节测试题

-连续型随机变量函数的分布

--连续型随机变量函数的分布(黎雅莲)--09:58min

--讲义下载

--拓展知识

-第二章第六节测试题

-讨论

--分布之间关系

-第二章测试题

第3章 多维随机变量及其分布

-多维随机变量及分布(一)

--多维随机变量及其分布(一)(李曼曼)-08:03

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第一节测试题

-多维随机变量及分布(二)

--多维随机变量及其分布(二)(李曼曼)-06:16min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第二节测试题

-边缘分布律和边缘密度

--边缘分布律与边缘密度(黎雅莲)-07:55min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第三节测试题

-条件分布与随机变量的独立性

--条件分布与随机变量的独立性(黎雅莲)-11:15min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第四节测试题

-随机变量极值的分布

--随机变量的极值分布(荣腾中)-09:55min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第五节测试题

-随机变量和的分布

--随机变量和的分布(荣腾中)-10:02min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第六节测试题

-数形结合求解函数的分布

--数形结合求解函数的分布(荣腾中)-08:59min

--讲义下载

--拓展知识

-第三章第七节测试题

-讨论

--分布类的和不变性

-第三章测试题

第4章 随机变量的数字特征

-数学期望和方差的定义

--数学期望与方差的定义(李曼曼)-07:25min

--讲义下载

--拓展知识

-第四章第一节测试题

-数学期望和方差的应用

--数学期望和方差的应用(荣腾中)-08:59min

--讲义下载

--拓展知识

-第四章第二节测试题

-数学期望的线性性质及应用

--数学期望的线性性质和应用(荣腾中)-08:56min

--讲义下载

--拓展知识

-第四章第三节测试题

-方差的性质与协方差

--方差的性质与协方差(荣腾中)-11:15min

--讲义下载

--拓展知识

-第四章第四节测试题

-标准化与相关系数

--标准化与相关系数(荣腾中)-11:24min

--讲义下载

--拓展知识

-第四章第五节测试题

-讨论

--相关关系与因果关系

-第四章测试题

第5章 极限定理

-大数定律

--大数定律(胥斌)-13:17min

--课程讲义下载

--拓展知识

-第五章第一节测试题

-中心极限定理

--中心极限定理(胥斌)-09:48min

--讲义下载

--中心极限定理动态演示

--拓展知识

-第五章第二节测试题

-讨论

--用电量的正态假设

-第五章测试题

第6章 数理统计的基本概念

-数理统计的基本概念

--数理统计的基本概念(刘琼荪)-10:12min

--讲义下载

--拓展知识

-第六章第一节测试题

-单样本均值统计量的分布

--单样本均值统计量的分布(刘琼荪)-12:05min

--讲义下载

--拓展知识

-第六章第二节测试题

-单样本方差统计量的分布

--单样本方差统计量的分布(刘琼荪)-10:40min

--讲义下载

--拓展知识

-第六章第三节测试题

-讨论

--保险损失分布

-第六章测试题

第7章 参数估计

-什么是参数估计

--参数与参数空间(荣腾中)-07:08min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第一节测试题

-矩估计

--矩估计(荣腾中)-09:14min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第二节测试题

-似然原理与似然函数

--似然原理与似然函数(荣腾中)-10:47min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第三节测试题

-连续型分布的似然估计

--连续型分布的似然估计(荣腾中)-07:41min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第四节测试题

-一类离散总体的似然估计

--一类离散型分布的似然估计(荣腾中)-09:51min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第五节测试题

-区间估计

--区间估计(荣腾中)-11:08min

--讲义下载

--拓展知识

-第七章第六节测试题

-讨论

--湖中有多少条鱼?

-第七章测试题

第8章 假设检验

-假设检验的基本原理

--假设检验的基本原理(荣腾中)-13:18min

--讲义下载

--拓展知识

-第八章第一节测试题

-两类错误

--两类错误(荣腾中)-11:37min

--讲义下载

--拓展知识

-第八章第二节测试题

-正态总体均值的检验

--单正态总体均值的假设检验(荣腾中)-12:59min

--讲义下载

--拓展知识

-第八章第三节测试题

-正态总体方差的检验

--单正态总体方差的假设检验(荣腾中)-09:25min

--讲义下载

--拓展知识

-第八章第四节测试题

-卡方拟合检验

--卡方拟合检验(刘琼荪)-08:37min

--讲义加载

--拓展知识

-第八章第五节测试题

-讨论

--有没有第II类错误?

-第八章测试题

第9章 回归分析

-一元线性回归(最小二乘估计)

--一元线性回归—最小二乘估计(黎雅莲)-11:10min

--讲义下载

--拓展知识

-第九章第一节测试题

-一元线性回归(相关系数检验)

--相关系数检验(黎雅莲)-08:42min

--讲义下载

--拓展知识

-第九章第二节测试题

-讨论

--火灾损失的因素

-第九章测试题

拓展知识笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。