当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第6章 数理统计的基本概念 > 单样本均值统计量的分布 > 拓展知识
设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n \) 是来自总体 \( X \) 的样本,样本均值为 \( \bar
{X} \),那么 \( \bar {X} \) 的分布精确或近似服从正态分布,条件与结论归纳为如下定理。
定理 设 \( X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n \) 是来自总体 \( X \) 的样本,则:
(1) 如果总体分布为 \( N(\mu ,\;\sigma ^2) \),则 \( \bar {X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma
^2}{n}) \) 或 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n }\sim N\left( {0,1}
\right) \);
(2) 如果总体不是正态分布或分布未知,且 \( E(X)=\mu \),\( D(X)=\sigma
^2 \) 存在,则当样本容量 \( n \) 较大时,\( \bar {X} \) 近似服从 \( N(\mu ,\frac{\sigma
^2}{n}) \) 或 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n } \) 近似服从 \( N\left( {0,1}
\right) \)。
证明:(1) 因为 \( \bar {X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {X_i }
\),由正态分布的线性可加性可知 \( \bar {X}\sim N\left( {E\bar {X},D\bar {X}}
\right) \)。因为\[E(\bar {X})=\mu , D(\bar {X})=\frac{\sigma ^2}{n}\]所以\[\bar {X}\sim N\left( {\mu ,\frac{\sigma ^2}{n}} \right)\ or\ \frac{\bar
{X}-\mu }{\sigma /\sqrt n }\sim N\left( {0,1} \right)\]
(2) 由中心极限定理可得:当 \( n\to \infty \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma
/\sqrt n }\buildrel L \over \longrightarrow N\left( {0,1}
\right) \),即 \( \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma /\sqrt n } \) 近似服从 \( N\left( {0,1}
\right) \)。
下面,用计算机模拟该结论。
例1 设总体 \( X\sim N(2,4^2) \),现从总体 \( X \) 中每次抽取容量为5的样本 \( X_1 ,X_2
,\cdots ,X_5 \),共1000次,具体样本值如表1所示。
\[\mbox{表1 正态总体的随机抽样}\]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mbox{ 抽样 }\backslash \mbox{ 样本值 }&
\mbox{ 第1次 }&
\mbox{ 第2次 }&
{\cdots}&
\mbox{ 第999次 }&
\mbox{ 第1000次 }\\
\hline
x_1 &
5.514&
3.879&
{\cdots}&
6.615&
-4.761 \\
\hline
x_2 &
9.231&
9.474&
{\cdots}&
5.272&
2.540 \\
\hline
x_3 &
-1.006&
4.928&
{\cdots}&
-5.427&
4.428 \\
\hline
x_4 &
-0.377&
0.212&
{\cdots}&
7.321&
4.329 \\
\hline
x_5 &
-6.276&
0.097&
{\cdots}&
5.864&
6.659 \\
\hline
\mbox{ 样本均值 }\bar {x}&
1.4172&
3.718&
{\cdots}&
3.929&
2.639 \\
\hline
\end{array}
\]
对每一组样本值 \( (x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_5 ) \),计算对应的样本均值为 \( \bar
{x} \),则有1000个样本均值。现对1000个样本均值绘制直方图,如图1所示。
由图1可见,样本均值的直方图很像正态分布的密度函数曲线图,这与定理(1)的结论一致。
例2 设总体分别为:
① \( X\sim U[1,\;5] \);
② \( X\sim f(x)=\left\{
{\begin{array}{ll}
(3-x)/4,& 1\le x<3 \\
(x-3)/4,& 3\le x<5 \\
0, &\mbox{其他} \\
\end{array}} \right. \) (倒三角形);
③ 指数分布 \( X\sim \Gamma (1,\;1) \)。
随着样本容量 \( n \) 的增加,样本均值 \( \bar{X} \) 的抽样分布渐近于正态分布。它们的均值相同,但方差则缩小为原方差的 \( 1/n \)。如图2所示。
以上三个总体都不是正态总体,但其样本均值的分布都近似于正态分布,区别于均值和方差上。
例3 假设 \( X\sim N(0,1) \),① \( Y\sim t(10) \);② \( Y\sim
t(30) \),随着 \( t \) 分布的自由度 \( n \) 的增加,其密度函数近似于标准正态分布。用计算机模拟了该结果,如下图所示。
该模拟结果表明:
当 \( n<30 \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{S/\sqrt n }\sim t(n-1) \);
当 \( n\ge 30 \) 时,\( \frac{\bar {X}-\mu }{S/\sqrt n }\sim N(0,1) \)(近似);
说明,\(t\) 分布适合于小样本时的统计推断。
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