当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第3章 多维随机变量及其分布 > 多维随机变量及分布（一） > 拓展知识
一、背景
对于一个通信系统，信号在信道中传输，人们希望认识信号在信道中的传输规律。通常信号 \( Y \) (随机变量)的传输过程是随时间变化的，因此，用随机过程来描述，记为 \( \{Y(t),t>0\} \) .要清楚地描述此随机信号，我们需要知道或了解随机过程 \( Y(t) \) 的 \( n \) 维概率密度族。
设有 \( n \) 台性能完全相同的接受信号的仪器。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪音波形。由测试结果可知，尽管设备和测试条件相同，记录的 \( n \) 条曲线中找不到两个完全相同的波形，这表明，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程，如下面图1所示。
二、概念
随机试验 \( E \) 的每一次实验可以用 \( X_{1} (t),X_{2} (t),\cdots ,X_{i}
(t),\cdots \) 来描述，称 \( X_{i}(t) \) 为样本函数。样本空间 \( \Omega=\{X_{1} (t),X_{2} (t),\cdots ,X_{i}
(t),\cdots \} \)，随机过程是同一个随机样本的集合，表示为 \( Y(t)=\{X_{i}(t)\} \) ,也可记为 \( Y(t,X) \)。
\( Y(t,X) \) 的含义：
1.当 \( X \) 固定时，\( Y(t,X) \) 是 \( t \) 的函数，称为样本函数；
2.当 \( t \) 固定时，\( Y(t,X) \) 是一个随机变量；
3.当 \( t \) 与 \( X \) 固定时，\( Y(t,X) \) 是一个确定数值，称为状态；
4.当 \( t \) 与 \( X \) 都发生变化时，构成了随机过程（随机信号）的完整概念。
随机信号可分为离散型和连续型两种，取决于 \( t \) 的取值是连续的还是离散的。
三、随机信号的分布与密度函数
在任意给定的时刻 \( t_{1} \)，\( Y(t_{1}) \) 是一个一维随机变量，称 \( P\{Y(t_{1})\leq x_{1}\} \) 为 \( Y(t) \) 的分布函数，记为 \( F_{1}(x_{1},t_{1}) \)。
称 \( f_{1}(x_{1},t_{1})=\frac{\partial F_{1}(x_{1},t_{1})}{\partial x_{1} } \) 为随机过程 \( Y(t) \) 的一维密度函数。
任意给定两个时刻 \( t_{1},t_{2} \in T \)，则随机变量 \( Y(t_{1}),Y(t_{2}) \) 构成一个二维随机变量，称 \( P\{ Y(t_{1})\leq x_{1},Y(t_{2})\leq x_{2}\} \) 为随机过程 \( Y(t) \) 的二维分布函数，记为 \( F_{2}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}) \)。
称 \( f_{2}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=\frac {F_{2}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \) 为随机过程 \( Y(t) \) 的二维密度函数。
类似地有 \( n \) 维分布函数与密度函数。
四、例子
正弦随机信号 \( Y(t,A)=A\cos(200\pi t),t>0 \)，其中振幅 \( A \) 为随机变量，取值为1,0的概率分别为0.1和0.9，试求：
(1) \( Y(t,A) \) 的一维概率分布 \( F(x,5) \)；
(2) \( Y(t,A) \) 的二维概率分布 \( F(x,y;0,0025) \)；
(3) 当 \( t=1 \) 时，随机信号 \( Y(t,A) \) 的可能值与最有可能出现的值。
解：(1) 因为 \( Y(5,A)=A\cos (200\pi \times 5)=A \)；所以
\begin{eqnarray}
F(x,5)&=& P\{A \leq x \} \\
&=&F_{A}(x)\\
&=& 0.1\delta (x-1)+0.9 \delta (x)
\end{eqnarray}
其中
\[
\delta (x)=
\left\{
\begin{array}{cc}
1,& x\geq 0 \\
0, & x<0
\end{array}
\right.
\]
（2）
\begin{eqnarray}
F(x,y;0,0.0025)&=&P\{ A\cos (200\pi \times 0)\leq x ,A\cos (200\pi \times 0.0025)\leq y \} \\
&=& P\{A\leq x , 0 \leq y\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
F_{A}(x),& \text{如果}\ \ y\geq 0 \\
0,& \text{如果}\ \ y<0
\end{array} \right.\\
&=&F_{A}(x)\delta(y)\\
&=&[0.1\delta(x-1)+0.9\delta(x)]\delta(y)
\end{eqnarray}
如图2所示。
（3）当 \( t=1 \) 时，\( Y(1)=A\cos(200\pi \times 1)=A \)
因此 \( Y(1) \) 的可能值为0和1，最有可能出现值为0。
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