当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第5章 极限定理 > 中心极限定理 > 中心极限定理(胥斌)-09:48min
同学们
今天我们来学习概率论的基本定理
中心极限定理
众所周知
现实世界中
正态分布无处不在
比如：
山的轮廓、
球员的身高
英文字母的出现频率、
某地区的气温和降水量等等
都是服从正态分布的
为什么正态分布这么普遍呢
其内在原因
就是随机现象背后中心极限定理的存在
本堂课将通过引例和实验
帮助同学们理解和掌握中心极限定理
首先
我们来看引例1
炮弹落点误差问题
影响炮弹落点的因素很多
比如士兵瞄准误差
空气阻力误差
炮弹质量误差
炮身结构误差等等
我们并不关心每一个细小的误差的情况
而是关心这些小误差Xi的和
总误差Yn是怎么样的
再来看影院扩建问题
有一座老电影院要改建为UME
通过前期的市场调查得知
1600个人中大概有4/5的人愿意到UME看电影
结合影院的改建要求
—空座超过200的概率不能超过10%
那么UME的座位数m应该设为多少呢
对这个问题进行建模
令Xi = 1表示第i个人去UME
Xi = 0表示他不去UME
显然Xi服从0-1分布
而去UME的总人数即为Y1600
等于X1到X1600这1600个随机变量的和
故问题转化为“
座位数m > Y1600+200”
的概率不超过10%
解m的关键是要知道Y1600服从哪种分布
以上两个引例都促使我们去研究
多个随机变量的和的分布问题.
更一般地
我们会问
当n趋于无穷大时
这无穷多个随机变量的和
又会是什么分布呢
接下来的高尔顿钉板试验将带给我们启示
图中的白色小点是光滑的铁钉
共15层
顶上漏斗装满黄色光滑小球
依次漏下
小球经过每层钉子时
与某颗铁钉相碰
然后以二分之一的概率
向左或向右平移一个位置
最后落入底部柱状小槽中
若记Xk=1表示小球经过第k层钉后
向右平移1位
而Xk = -1表示小球经过第k层钉后
向左平移1位
那么小球在完成整个过程后取得的位移
即落入槽的位置
可表示为X1+X2
一直加到 X15
这15个两点分布的和
这个和的取值及其概率究竟会怎么样
让我们来看最后的结果,
落入中间的槽的小球多
两边的小球少
中间大，两头小
这个和的取值在中间的强度
在两头的强度小
其轮廓近似于一条正态曲线
即这15个两点分布的和近似地服从正态分布
有了高尔顿钉板试验的启示
我们来引出定理1
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：
假设n个随机变量X1,X2,…,Xn
独立同分布于两点分布
Xi的期望为μ
方差为σ2
则当n趋于无穷时
这n个随机变量的和的极限分布是正态分布。
现在我们回到引例2中
随机变量X1,X2,…,X1600
独立同分布于两点分布B(1,0.8)
Xi的期望等于0.8
方差等于0.16
由定理1
Y1600近似地服从于正态分布N(1280,256)
代入改建要求
我们很容易得到座位数m=1460
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
对Xi的要求很高
难以满足
我们可不可以减化条件
将该定理进行推广
如果我们只要求这些Xi独立同分布
那它们的和的分布又是怎么样的呢
不妨令每个Xi都是U形分布
图中蓝色散点即是U形分布列
这是一种与正态分布形态迥异的分布
常用于描述不同年龄人群的死亡概率
婴儿和老年人的死亡概率处于两端高值部分
我们观察多个U形随机变量的和的分布情况
Y3，Y10，Y20
随着n的逐渐增大
虽然每个U形分布与正态分布差异极大
但Yn越来越正态了
Y20的密度轮廓已经几乎与正态曲线完全重合
于是
我们可以将定理1进行推广
得到独立同分布的中心极限定理
在这个定理中
我们不再要求每个Xi是两点分布
只要这些Xi独立同分布
且Xi的期望和方差存在
那么这个时候
它们的和的极限分布就是正态分布
回到本堂课开始的那个问题
正态分布为什么这么普遍呢
我们可以作如下简单解释
现实世界中许多事物和量在某种程度上
都可以看成大量相互独立的细小的量和因素的作用之和
这与中心极限定理在本质上是相通的
今天我们简单介绍了二个中心极限定理
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
和独立同分布的中心极限定理
希望大家结合生活实际加深理解
今天的课就学到这里
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