二项与超几何分布、几何与负二项分布的性质

 （一）二项分布
        背景： \( n \) 重Bernoulli试验中成功的次数 \( X \) 服从二项分布 \( B(n,p) \)，其中 \( p \) 为一次Bernoulli试验中成功发生的概率。\( X \) 的分布律为：
\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\cdots ,n
\]几个特殊二项分布的图形如下：
性质：
        1. 如果 \( X\sim
B(n,p) \)，对于固定的 \( n \) 和 \( p \)，\( X \) 取 \( k \) 的概率随 \( k \) 的增加``先增后减''，当 \( (n+1)p \) 为整数时，\( X \) 取 \( k \) 的概率在 \( (n+1)p-1,\;\;(n+1)p \) 两点处达最大值；当 \( (n+1)p \) 为非整数时，\( X \) 取 \( k \) 的概率在 \( [(n+1)p] \) 这点处达最大值；

        2. 如果 \( X\sim B(n,p) \)，则 \( Y=n-X\sim
B(n,1-p) \)，其中 \( Y=n-X \) 表示 \( n \) 重Bernoulli试验中失败的次数，如上图第一、二两幅图形所示。

        3. 对于固定的 \( p \)，随 \( n \) 的增大，二项分布的分布律趋于对称。

（二）超几何分布
        背景：设有 \( N \) 个产品，其中有 \( M \) 个不合格品，如果从中不放回地随机抽取 \( n \) 个，则其中含有不合格产品个数 \( X \) 服从超几何分布 \( H(N,M,n) \) ：
\[
P\{X=k\}=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k} }{C_N^n },\quad k=\max
(0,n-N+M),\cdots ,\min (M.n)
\]分布律图形如下：

性质：
        (1)  当 \( n\ll N \) 时，超几何分布近似于二项分布，即（如图所示）
\[
P\{X=k\}=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k} }{C_N^n }\approx C_n^k \left(
{\frac{M}{N}} \right)^k\left( {1-\frac{M}{N}} \right)^{n-k}
\]        (2) 实际应用中，在不放回抽样时，常用超几何分布描述抽出的样品中不合格品数的分布；在有放回抽样时，常用二项分布描述抽出的样品中不合格品数的分布，当批量总数 \( N \) 很大，抽出的样本量 \( n \) 很小时，不放回抽样可近似看作有放回抽样。

（三）几何分布
        背景：在Bernoulli试验序列中，成功事件 \( A \) 首次出现的试验次数 \( X \) 服从几何分布 \( Ge(p) \)，其中 \( p=P(A) \)。\( X \) 的分布律为：
\[
P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},\quad k=1,2,\cdots
\]
     
性质：如果离散型随机变量 \( X \) 只取自然数 \( \{1,2,3,...\} \)，且对任意的自然数 \( n,m \)，都有（无记忆性）： \( P\{X>m+n\vert
X>m\}=P\{X>n\} \)，则 \( X\sim Ge(p) \) .

证明： \( P\{X>m+n\vert X>m\}=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}=P\{X>n\} \)
\[
P\{X>m+n\}=P\{X>m\}P\{X>n\} \tag{1}
\]将 \( n \) 换成 \( n-1 \)，则有\[
P\{X>m+n-1\}=P\{X>m\}P\{X>n-1\} \tag{2}
\](1)\(-\)(2)有:\[
P\{X=m+n\}=P\{X>m\}P\{X=n\}
\]当 \( n=m=1 \) 时，并设 \( P\{X=1\}=p \)，\[
P\{X=2\}=P\{X>1\}P\{X=1\}=(1-p)p
\]当 \( n=2,m=1 \) 时，\( P\{X=3\}=P\{X>1\}P\{X=2\}=(1-p)^2p \) .

        如果令 \( P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p \)，则用数学归纳法可知：\[
P\{X=k+1\}=(1-p)^kp,\quad k=1,2,\cdots
\]
思考：如果 \( X\sim Ge(p) \)，如何证明无记忆性。

 （四）负二项分布
        背景：在Bernoulli试验序列中，成功事件 \( A \) 第 \( r \) 次出现时的试验次数 \( X \) 服从负二项分布 \( G_r
(p) \) （或 \( NB(r,p) \) ），其中 \( p=P(A) \)。\( X \) 的分布律为：
\[
P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1} p^r(1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\cdots
\]
                                  

性质：
        1. 当 \( r=1 \) 时，负二项分布为几何分布；
        2. 如果 \( X\sim G_r (p) \)，则 \( X=X_1 +X_2 +\cdots+X_r  \)，\( X_1 ,X_2 ,\cdots,X_r
 \mathop \sim\limits^{iid}  Ge(p) \) 。
\[
\underbrace {\overbrace {\bar {A}\;\bar {A}\;\cdots \;A}^{X_1
}\;\overbrace {\bar {A}\;\bar {A}\;\cdots \;A}^{X_2 }\;\cdots
\;\overbrace {\bar {A}\;\bar {A}\;\cdots \;A}^{X_r }}_X
\]