双参数指数分布的极大似然估计

        指数分布在可靠性研究中是一种常见的重要分布，它的应用十分广泛，许多电子产品的分布一般都服从指数分布，部分系统的寿命分布也可以用指数分布来近似。但是，由于指数分布具有``无记忆''的特性，违背了产品损伤累计和老化这一过程，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损害过程的实际情况完全矛盾的，因而限制了它在机械可靠性研究中的应用。在这种情况下，Gupta和Kunda在1999年提出了一类两参数指数分布，其密度函数形式如下：
\[
f(x;\mu ,\beta )=\frac{1}{\beta }e^{-\frac{1}{\beta }(x-\mu )},\quad x\ge
\mu \;(\beta >0)
\]
        下面将简介关于参数 \( \mu ,\beta \) 的极大似然估计。假设 \( X_1 ,X_2 ,\ldots ,X_n
\) 来自两参数指数分布总体，\( x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n \) 是一组样本观测值。
        首先建立似然函数，对 \( x_i \ge \mu , \forall i=1,2,\cdots,n \) ：
\begin{eqnarray}
L(\mu ,\beta )&=&\prod\limits_{i=1}^n {f(x_i ;\mu ,\beta )}\\
&=&\prod\limits_{i=1}^n {\frac{1}{\beta }e^{-\frac{1}{\beta }(x_i -\mu )}}\\
&=&(\frac{1}{\beta })^ne^{-\frac{1}{\beta }\sum\limits_{i=1}^n {(x_i -\mu )}}
\end{eqnarray}其次取对数\[
\ln L(\mu ,\beta )=-n\ln \beta -\frac{1}{\beta }\sum\limits_{i=1}^n {(x_i
-\mu )}
\]并分别对参数 \( \mu ,\beta \) 求导数\[\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \ln L(\mu ,\beta )}{\partial \mu }=\frac{n}{\beta }\\
\frac{\partial \ln L(\mu ,\beta )}{\partial \beta }=-\frac{n}{\beta
}+\frac{1}{\beta ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(x_i -\mu )}
\end{array}\right.\]
解方程
\[\frac{n}{\beta }=0 \tag{1}\]\[-\frac{n}{\beta }+\frac{1}{\beta^2}\sum\limits_{i=1}^n {(x_i -\mu )} =0 \tag{2}\]
显然方程（1）无解，由方程（2）解出 \( \mu +\beta =\bar {x} \)。

        下面采用分析的方法分析参数 \( \mu \) 的最可能取值。因为
\[L(\mu ,\beta )=\prod\limits_{i=1}^n {\frac{1}{\beta }e^{-\frac{1}{\beta
}(x_i -\mu )}} ,\quad x_i \ge \mu \;\quad \forall i=1,2,\cdots,n\]
如果 \( x_i \ge
\mu , \forall i=1,2,\cdots,n,\forall \beta >0 \)
\[\mathop {\max }\limits_\mu L(\mu ,\beta )\quad \Leftrightarrow \quad
\mathop {\min }\limits_\mu \sum\limits_{i=1}^n {(x_i -\mu )} \]
在条件 \( x_i \ge \mu \;\quad \forall i=1,2,\cdots,n \) 下，当 \( \hat {\mu }=x_{(1)}
=\min \{x_1 ,x_2 ,\ldots ,x_n \} \) 时，可满足 \( \mathop {\min }\limits_\mu
\sum\limits_{i=1}^n {(x_i -\mu )} \)，因此 \( \hat {\mu }=X_{(1)} \) 是参数 \( \mu
\) 的极大似然估计。
        由关系式 \( \mu +\beta =\bar {x} \) 知，\( \hat {\beta }=\bar {x}-\hat {\mu
} \)，参数 \( \beta \) 的极大似然估计为 \( \hat {\beta }=\bar {X}-X_{(1)} \)。

        下面请看一个应用实例。

例：如果 \( X \) 表示一批产品中任意一件产品的寿命（单位：小时），它服从双参数的指数分布。令 \( P\left\{
{X>v_{0.5} } \right\}=0.5 \)，参数 \( v_{0.5}
\) 称为中位寿命，表示这批产品中有一半的产品能正常工作到 \( v_{0.5}
\) 小时。试确定参数 \( v_{0.5} \) 的极大似然估计量。
        因为
\[
0.5=P\left\{ {X>v_{0.5} } \right\}=\int_{v_{0.5} }^{+\infty }
{\frac{1}{\beta }e^{-\;\frac{x-\mu }{\beta }}dx} =e^{\frac{\mu -v_{0.5}
}{\beta }}
\]所以\[v_{0.5} =\mu +\beta \ln 2\tag{4}\]
根据极大似然估计的不变性，将由参数 \( \beta ,\;\mu \) 的最大似然估计量 \( \hat
{\beta }=\bar {X}-X_{(1)} \;\;,\;\;\hat {\mu }=X_{(1)}
\) 带入（4）式，得到参数 \( v_{0.5} \) 的极大似然估计量
\[
\hat {v}_{0.5} =\hat {\theta }+\hat {\lambda }\ln 2=X_{(1)} +\left( {\bar
{X}-X_{(1)} } \right)\ln 2=\bar {X}\ln 2+\left( {1-\ln 2} \right)X_{(1)} .
\]

还有一类混合双参数的指数分布，密度函数形式为：
\[
f(x;p,\mu ,\beta _1 ,\beta _2 )=\frac{p}{\beta _1 }e^{-\frac{1}{\beta _1
}(x-\mu )}+\frac{1-p}{\beta _2 }e^{-\frac{1}{\beta _2 }(x-\mu )},\quad x\ge
\mu ,\;0<p<1,\;\beta _2 >\beta _1 >0
\]
思考：如何确定参数 \( p,\mu ,\beta _1 ,\beta _2 \) 的极大似然估计呢？

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第8章 假设检验

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