晶体的宏观对称在线视频

同学你好

这节课要讲的内容是晶体的宏观对称及32点群

晶体的宏观对称主要表现在外部形态上

如晶体的晶面

晶棱和角顶

做有规则的重复

要使得对称图形中等同部分重复

那就必须通过一定的操作

这种操作称为对称操作

对称操作中所借助的几何要素点线面

我们称为对称元素

可以分为五类对称操作

这里面有反伸操作

它依靠的元素是对称心

还有反映操作

依靠的元素是对称面

还有旋转操作

它对应的元素是对称轴

还有旋转反伸操作

对应倒转轴

旋转反应操作对应映转轴

有这样五类对称操作

有这样五类对称操作

首先我们看一下

对称心也是反伸操作

对称心的含义是如果通过对称心作任意直线

那么在这个直线上距离对称心等距离的两端

必定可以找到对应的点

也就是说如果空间当中有一点XYZ

那么通过这个对称心反伸过来之后

一定有一个-X-Y-Z这样一个点

所以我们看如果经过对称心操作的话

原来有一个向量

如果是AB的话

经过对称操作之后

它的方向是相反的

所以当晶体当中如果存在对称心的时候

一定存在大小相等

并且两两平行的晶面

你比如说这个ABC这个面

那么它和这个面ABC就是互相平行的

这也是判断一个晶体有没有对称心的一个依据

我们再来看一下对称面

对称面是一个假想的平面

当存在一个点xyz的话

如果它的对称面是z等于0的话

那一定在xy-z的位置

有一个点

对称面它相应的对称操作是对这个平面的反映

我们一般用符号用P来表示

用P来表示对称面

国际符号用m来表示

对称面将这个图形分为上下两个互为镜像的两个部分

对称面将这个图形分为上下两个互为镜像的两个部分

就像这个图画的

这就是通过对称面反映过来的一个图形

我们再来看一下对称轴

对称轴是一个假想的直线

相应的对称操作是围绕这个直线进行旋转

每转过一定的角度

各等同部分就发生一次重复

旋转一周所重复的次数我们叫做轴次

用n来表示

那么整个物体复原需要的最小转角称为基转角

我们用α来表示

所以这里边的轴次n和α角之间是这样一个关系

是这样一个关系

对称轴有这样五种

有一个一次轴

那是旋转360度

复原那个没在这里画了

这个是二次对称轴

二次对称轴

就是旋转180度

有一个点

它用的符号就是L2

就是说这个位置表示轴次

国际符号用2来表示

这个是三次对称轴

三次对称每旋转120度复原一次

它的符号是这样的

它是图形符号

一个三角形来表示

还有四次轴

这是四次轴

还有6次轴

这样几个点

每旋转60度复原一次

所以对这个对称轴来说

习惯符号是用Ln来表示

这个n表示轴次

国际符号就用一个数字n来表示

那么为什么对称轴只有这样五种

1次轴2次轴3次轴4次轴和6次轴

不存在其它轴次的对称轴

它是由于受到了晶体在三维空间周期性排列的限制

所以不存在5次轴和6次以上的对称轴

我们来看看原因

由于空间点阵具有周期性排列的规律

那么从A1A2A3A4这几个点

它们之间一定是等距离排列的

比如说我们用a表示这个阵点之间的距离

如果说存在一个基转角是α的对称轴的话

那么A1这点围绕着A2这点旋转α角之后

一定在B1这个位置

有一个阵点

那A4这个阵点围绕着A3旋转α之后

在B2的位置

有一个阵点

那么从B1到B2这个向量的长度

它一定是a的整数倍

一定是它的整数倍

所以我们可以得到这样一个式子

有这样一个公式可以推算出来

你要想满足cosα等于(m-1)/2这样一个关系

所以这里边m只能是整数

那么它的取值就受到了限制

这里边m可以取的值只有这么几个

一个是m取3

m取2 m取1

m取0 m取-1

当它取m取不同值的时候

对应的这个基转角α不同

对应的这个轴次n不同

所以不同轴次的对称轴

下面我们再看这种操作叫做

旋转反伸操作

它依靠的对称元素是倒转轴 倒转轴是一种复合的对称操作

它的辅助的几何要素有两个

一个是假想的直线

以及这条直线上的一个定点

它的操作是围绕着这条直线旋转一定角度之后

通过这个定点进行反伸操作

这样咱们将这个操作叫做倒转轴操作

这里边这个倒转轴操作一共有五种

一次倒转轴

二次倒转轴

三次四次和六次倒转轴

它和旋转轴一样

不存在五次及六次以上的倒转轴

我们来看看一次倒转轴

一次倒转轴

就是这个点围绕这个直线转360度又转回来了

然后对这个点进行反伸操作

得到这个点

所以我们可以看出来

一次倒转轴实际上就相当于是一个对称心

相当于这是一个对称心这么对应过来

所以它跟对称心的操作是等效的

二次倒转轴转动180度

然后通过这点进行反伸到这得到这点

2次倒转轴实际上是呈一个镜面对称的关系

相当于这个位置有一个对称面

这两点是对称的

所以2次倒转轴就是一个对称面

三次倒转轴

我们看比如说这一点转120度到它

然后进行反伸那我就得到这样一个点

从这个点转120度到这

通过反伸到这个点

它再转120度到这然后转到这

这样一个我们可以得到这样一个图形

三次倒转轴

它的效果相当于一个三次轴加上一个对称心的操作

对于倒转轴我们采用的表示方法

它习惯符号是用Li n来表示

i是表示倒转轴

然后n是表示轴次的

国际符号用n上面加一个横杠来表示

所以一次倒转轴我就写成1上面加一个横杠

所以对于对称心来讲

我可以写成是一个一次倒转轴

这是一种表示方法

我们再来看

这是6次倒转轴6次倒转轴

就是每转60度

然后通过这点进行倒反

那么6次倒转轴我就可以得到这样一个图形

大家可以看

这个六次倒转轴的话

它相当于什么

相当于一个三次轴再加上一个对称面

就比如这个位置有一个对称面

这样一个操作

四次倒转轴

每转动90度

通过这一点进行倒反

然后这一点再转90度倒反

它转90度倒反出来到这

你看其它的

一次倒转轴等于对称心

二次倒转轴三次倒转轴

六次倒转轴

实际上它都可以用其它的对称操作来取代

但是4次倒转轴这种操作形式

是不能由其它对称操作取代的

所以4次倒转轴是一种宏观的对称元素

对于对称轴的话

如果有一点是xyz那我经过ψ角的转动

我们就可以得到另外一个点

x1y1z1这个转动的角度是ψ

那它俩之间的对应的坐标

就是由这样一个矩阵来对应过来的

下面我们再看一下旋转反映操作也是映转轴

映转轴是一种复合对称元素

它的辅助几何要素

是一根假想的直线

和垂直于此直线在一个平面

相对应的对称操作

就是围绕着这条直线转一个角度

然后再经过一个平面进行反映的操作

是这样一个复合的操作

我们来看这是一次倒转轴

倒转轴的表示方式是用一个下标用S来表示

上边用这个轴次来表示这个和那个旋转反演轴是一样的

你比如一次旋转反映轴

映转轴的话

那它转360度转到这

然后经过这个面反映过来

这有一个点

那么我可以看出来

这个一次的映转轴

这个一次的映转轴

它实际上相当于是一个对称面

我再来看二次映转轴

是从这转到180度经过反映到这

这个二次映转轴实际上相当于对称心的操作

三次映转轴每转动120度

然后对称过来

比如它转120转到它这有一个点

然后它再转120

到这有一个点

可以得到这样一个图形

所以三次的映转轴它相当于一个三次轴加上一个对称面

6次映转轴就是每旋转60度

然后进行反映操作

6次映转轴的结果就相当于一个三次轴加上一个对称心

这样一个操作

四次映转轴和四次倒转轴

它俩是一样的

不能由其它的宏观对称元素所取代

是一种独立的操作

映转轴它作用的形式和倒转轴实际上是一样的

所以我们通常只考虑倒转轴

宏观对称操作的组合和32个点群

将所有的宏观元素进行组合操作

在符合对称组合规律的情况下

一共可以有32种组合方式

我们将这32种对称操作群称为32点群

对称要素的组合

分为高次轴

就是n大于2时不多于一个的组合

我们称为A类组合

有27种

高次轴多于一个的组合称为B类有五种

那么对称元素组合是遵循一定规律的

你比如说

如果有一个2次轴垂直一个n次轴的话

那必定存在n个2次轴

垂直于这个n次轴

并且相邻的两个二次轴的夹角为n次轴的基转角的一半

我们这个大家可以下去用那个6次轴来试验一下

还有一个规律就是如果对称面

P垂直于偶次对称轴

那么它的交点存在在对称中心

这也是一个规律

如果对称面包含n次对称轴那必定有n个对称面

包含n次轴

等等这种组合规律

有很多很多规律

这里只给大家列了几个

下面说一下点群的国际符号

为了更加简洁

而且能够反映对称元素的分布特征

我们一般采用点群的国际符号

我们也称H-M符号来表示

或者是叫做圣佛利斯符号来表示

在这32点群当中

比如说三斜晶系里边包含了两个点群

一个是只含有一次轴的点群

一个是含有一次反轴的点群

这是国际符号

圣佛利斯符号

它用Cn来表示

Cn来表示

Cn它是表示n次旋转轴的意思

你比如说这个C1那就是一次旋转轴

C2就是二次旋转轴

比如说圣佛利斯符号里边Cnh

它是表示除了n次旋转轴之外

还包括一个与此轴垂直的对称面

所以圣佛利斯符号

它是用这种形式来表示的

国际符号是用这种形式表示

我们看在正交晶系里边

它这个国际符号可以写成

222 mm2 2/m 2/m 2/m

表示什么意思

这表示二次旋转轴

这表示两个对称面

还有一个2次轴

这个是表示有一个对称轴垂直于这个对称面

这是它的一个表示方式

四方晶系

也对应着一组点群

然后三方六方都对应了不同的那个点群符号

我们可以看一下

你比如六方晶系

它的特征对称元素是什么

是一个6次轴或者是6次反轴

我们再来看这个立方晶系

立方晶系由有五个点群

含有五个点群

它一个共同的特点

我们可以看出立方晶系的特征

对称元素是什么

是四个三次轴

你看这个立方晶系当中不论是哪个点群

它的对称元素都包含了四个三次轴

所以四个三次轴是立方晶系对称的特征

下面我再看一下晶体的对称与单形

我们拿mmm这个点群为例

这个点群它是属于正交晶系的

属于正交晶系

那么什么叫做单形

晶体表面由等同大小的一组晶面所组成

咱们称为单形

有两种或者两种以上的晶面

所组成的晶体

我们称为聚形

一个晶体中

单形是彼此间

能对称重复的一组晶面的组合

也是能借助于点群的全部对称元素的作用

相互联系起来的一组晶面的组合

你比如这个里边

这个mmm这个点群

它的hkl晶面

我们看通过这种mmm的对称关系的话

显然这里边有hkl

与它等效的一个晶面应该是-hkl

这是一个对称出来的

还有h-kl hk-l以及-h-k-l等等

一共是八个晶面所构成的

这样它构成了一个什么样的图形

我们构成这样一个图形

我们称为斜方双锥

这是一个

那么同样是mmm的晶系

它的hk0这个晶面构成单形是什么

通过对称关系的话

看看它的等效晶面

hk0显然有一点-hk0 h-k0和-h-k0

这样的话一共有四个

晶面是等同的

它所构成的一个形状就叫斜方柱

这是咱们说的一个斜方柱

那我们再看等轴晶系的五个点群等轴晶系的五个点群

我们知道它的特征对称元素是四个三次轴

通过四个三次轴的这个对称关系

我们一个001的晶面可以对称出来

010和100

这样构成了一个立方体的单形

所以四个三次轴

是立方晶系的一个特征

它的001晶面是构成立方体单形

但是通过不同的点群

你比如23 m3 432

-43m m3m这五种点群

它所对应出来的这个100晶面上的花纹是不一样的

如果我们理解起来

可以因为在这个面上的原子的排布位置是不一样

所以这就是立方晶系的五个点群

这节课就给大家介绍到这里