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我们下面进入下一个知识点
这个知识点是讨论动态系统的分类
所谓动态系统实际上和我们讨论的一般系统的区别在于
它更专注于这个系统随时间变化的行为
或者说这个系统的功能
体现在能够动态的来响应环境对它的影响
通过系统的结构和控制能够影响它的输出
使得它的输出产生一个和时间和过程相关的
这样一个理想的输出过程
系统的概念我们刚才也讲了
它是关注于这个功能的输入输出之间的对应关系
那我们对动态系统的研究
也是同一个最基本最朴素的观点出发
我们利用图上所示的输入输出的描述方法
我们有一个输入信号从环境到达系统
我们把系统整体作为一个黑箱来处理
就是说里面不清楚
但是我们知道它产生了一个输出的信号
而这个输入输出的关系是否满足我们的要求
这是我们系统分析和综合的一个要点
那么动态系统按照它的类型我们要对它进行划分
这个类型的划分决定了我们采用的数学工具
或者从理论上对它处理的方法可能有所不同
那么最简单的动态系统可以说
就是一类所谓无记忆的系统
那这种无记忆的系统特点体现在什么地方呢
它任何时刻t的输出仅仅决定于当前时刻t的输入
就是说任何时候的输出仅仅取决于当时给它的输入信号
没有任何的记忆效果
没有任何的前后关联
仅仅取决于当下的即时的一个输入
那么用一个数学公式来表达
就是我们的输出信号y(t)
它就等于我们u(t)信号给出来的这样一个映射
就是由它来决定的
我们从数学上用一个抽象的x来表示
U这个型号t时刻的值
做决定的一个量 它是唯一的
这就体现了系统的无记忆性
对历史没有记忆也对未来它也不受影响
这类系统大家可以想一想
你在生活当中碰到过什么样的例子
哪些系统属于无记忆系统
我们学过电路的同学可能都比较容易想到例子
比如说放大器
我们在模拟电路里面大家学过
放大器它就是一个增益
就是一个比例系数
你输入比如说是1
增益系数如果是k
那么k乘以1就是k
如果输入变成2那就变成2k
这是一个非常简单的例子
它仅仅决定当下你给它什么东西它就出来什么
相应的k倍
那么在数字电路里
实际上也有这样的例子
比如我们说的组合电路
组合电路它也是无记忆系统
比如说一个与门
我们把两个信号与起来
那这个时候与门的输出
仅仅取决于当下参与这个与运算的算数这两个输入信号
它到底是01是什么状态
简单的逻辑关系
它对于你以前输入过什么东西没有记忆
那么如果说你没有学过这些电路
但是你学过中学的物理
那你也可以理解
所谓的纯电阻电路
纯电阻电路它也是电压电流的关系
你也可以发现它也是一个无记忆系统
比如我们都知道欧姆定律
电压等于电阻乘以电流
如果电流是个输入信号电压是个输出信号
或者反过来
电压是个输入信号电流是个输出信号
通过阻值为r的电阻的时候
我们就可以看到输入输出关系
它也是个简单的比例关系
你当时t时刻的电压的值
决定你当时的电流值
如果你电压变化电流就跟着变化
而且是随时都要跟着变化
始终保持着r倍
这样我们就可以看到无记忆系统其实也挺多的
在我们的生活当中
从动态系统的分类角度
这是最最简单的一种系统
还有什么样的系统
还有的就是更大的更广的一个类型的系统
它叫因果动态系统
因果动态系统比无记忆系统来的要更一般
它是这样规定的
系统任何时刻的输出
取决于你到这个时刻之前历史上的输入
历史上的输入什么意思呢
就是说你可以仅仅依赖于你当时的t
也可以依赖于t时刻之前的输入
我们在这里用的数学公式给大家表示一下的话
我们看到y(t)现在变成了谁的映射
谁的函数了呢
变成了u(τ)这个输入信号的函数
τ指的是对输出有贡献的这个时间区间上的这些时刻
可以看到这个τ是属于一个
从负无穷到t这个区间的整个一个范围
那么就意味着什么呢
历史上的输入信号对于我现在这个输出都可能产生影响
某种形式的影响
这叫因果系统
这里面大家要注意到的
这个因果性体现在哪儿呢
它体现于在它依赖于过去
那么它不依赖于谁呢
它可以依赖于当前
但是它不依赖于谁呢
没说出来的不依赖的是未来
也就是说
我当前时刻的输出决定于历史上的输入
和顶多包括我当前的输入
但是和我未来的输入是没有关系的
这叫因果性
这里边这样的例子也很多
大家的日常生活
我们在物理世界上
碰到的绝大部分的系统
都是因果系统
比如来看一下我们的模拟电路里面例子
那就是积分器
积分器实际上它当前的输出
是决定于历史上所有输入进行积分
学过微积分的同学都知道
做积分运算一直积到t时刻为止
把U给它一直积下去
那么在数字电路里面
大家所熟悉的电路里面有时序电路
比如说触发器
比如说我们一些时序的电路
计数器
都是属于我们说的因果系统这一类
就是说你历史上的输入
比如说计数器的话
它会说你历史上一共按了多少次健
那就把总次数记下来
显然它跟你历史上t时刻之前的输入都有关系
它把总数给统计下来
如果你这些没学过
你学过物理的话
主要高中的
你学过电容电感对不对
那你就明白了一个道理
电容它是可以存储能量的
那我们实际上电池就是一个大的电容
那么电容存储的电量是由谁来决定的
我们如果给它充电的话
那实际上决定于历史上
冲得多快多大的电流充电
一共充了多少时间所有历史上充电的
贡献都体现在当前充电的电量上
这个是非常典型的一个因果系统
除此之外
如果不是一个因果系统
我们把其它类型的系统称为非因果系统
下面我们举一个数值的例子
我们通过这个例子给大家来展示一下
从数学上来看
前面我们说的是一些概念
从数学上来看哪些具体的数学表达式给出的系统
都是一个黑箱模型
都是有一个输入信号
有一个相应的输出信号
但是它们属于不同类型的系统
我们看看这个例子
其实大家也可以动动脑筋
稍微观察一下
那你自己应该能够判断出来
我们要给出的输入型号一模一样
都是离散时间的u(k)
k等于012这样一个输入信号
那么我们的输出信号y(k)
用三种不同的方式
这取决于三种不同的系统
来依赖于我们u(k)
第一个y(k)等于两倍的u(k)
这是一个什么系统呢
我想大家都能够很明确的知道
这是一个无记忆系统
因为它当前的y(k)值仅仅取决于它当前的u(k)值
第二个例子
y(k)等于u(k-1)加上u(k-2)
这是一个什么系统呢
k-1是什么意思
就是k等于1的时候它取0
k等于2的时候它取1
那我们y(k)
k等于1的时候
y(k)也就等于u(0)加上u(-1)
这个东西你可以看到
它是依赖于历史上的输入而不依赖于未来的输入
那这种情况这个系统就是一个因果系统
而我们看到第三个例子
这个y(k)等于什么
y(k)等于u(k-1)加上u(k+1) 除以2
我特别要强调 这里面
y(k)依赖于u(k+1)
那么大家看一下这是什么系统
这个是不是一个无记忆系统
不是
因为它不是仅仅取决于u(k)
它是k-1 k+1都依赖了
它是不是一个因果系统呢 也不是
因为它不仅仅依赖于k-1
就是k以前的
还依赖于k+1
也就是说 k等于1的时候
y1它依赖于什么 依赖于u2
u2还没有发生
那你说这种系统在实际当中存在不存在呢
我刚才讲了一个实际的物理过程
很难找到这样的系统
系统最基本的概念还是回到最基本的出发点
我们研究一个问题
从系统理论的角度
其实我们是给 问题提供一种描述方法
那么在图像处理里面
实际上这种运算用的很多
它用于平滑一个图像的质量
这个时候的k 或者说这个t
实际上它并不是我们通常理解上的动态过程中的时间
它是一个维度
比如它是一个x轴或者说水平方向一个y轴
垂直方向
那这样大家就可以理解了
我的一个中间像素的亮度也好颜色也好
就是我把两边亮度 的颜色加个平均值取一下
整个图像显得更加的连续更加的平滑
所以当你把你的问题描述成一个动态系统的问题的时候
实际上它的应用范围很宽的
这样我构造 出来的系统原来的系统
它是一个非因果的系统
那么我们这门课研究什么呢
我们这门课主要研究的是因果系统
所以我在这儿给大家通过这个类型的对比
让大家明确一下
研究对象应该满足什么样的基本条件
从输入输出关系的角度
关于这个观点我们就讲到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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-动态系统的分类
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