当前课程知识点：线性系统理论 > 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述 > LST7-2-1 解耦零点 > 视频
我们前边提到一个很重要的性质
就是说我们多一个传递函数矩阵
建立一个它的广义微分系统的描述
那么这种描述它很灵活
但是我们也看到在它里边怎么得到一个
最简的模型就是这个不可简约的PMD
那么对一个PMD而言或者对一个一般的系统的模型而言
非常重要的结构性质就是它的零极点
那么对于一个PMD它也是对系统的一个描述
那么这里边的零极点到底什么
那我们在这给大家介绍解耦零点的概念
同时我们也附带的介绍一下PMD整个的零极点的分布情况
那我们首先介绍的是PMD的传输零极点
什么叫传输零极点呢
简单地说就是它的传递函数的零极点
大家都知道前面我们讲过传递函数矩阵它有有限零极点
那个地方是通过史密斯麦克米伦形里边化出来的
epsilon多项式和psi多项式分别定义零极点
那我们看到MFD有一个非常好的性质就是
MFD的分子里边包含的不变多项式的根都是我们的零点
分母不变多项式的根都是我们的极点
而我们的PMD的传输零极点就直接定义成
这个PMD所对应的传递函数矩阵的零极点
那么MFD(P Q R W)的传递函数是谁呢
我们前边给大家导出过
那么这个传递函数矩阵就是G(s)=R(P^-1)Q+W
当然这样的话就是说如果我们给定了一个PMD
我们可以通过计算它的传递函数矩
阵把它的传输零极点给求出来
但是这是定义这个相对来说是比较麻烦的 为什么呢
因为我们通过求逆化为有理分式然后再去确定
除非你的这些所有的参数矩阵都是已知的你可以把它导出
但是如果你的P Q R W里边
包含着你的设计参数或者未知参数
那么你在确定零极点的时候就会碰到很大的问题
那下边我们来看一下对一个给定的不可简约的PMD来说
它的传输零极点怎么来确定
当然前边我们已经讲过了
对一个给定的PMD怎么判断它的不可简约性
也就是看P Q和P R的互质性我们是可以判断的
所以我们说你给定一个PMD
我来判断一下它是不是不可简约的
如果它是不可简约的我们就可以利用下边的途径
而不是直接把它的传递函数给
求出来再去化史密斯麦克米伦形来确定零极点
那我们是另外一个途径
这个途径就相对简单的多
首先我们说这个不可简约的PMD的传输极点
都可以通过求P(s)的行列式等于零的根来得到
这就相当于说什么呢
就是说我这个P(s)求行列式得到的这个多项式
事实上就是G(s)特征多项式
因为我们知道特征多项式的根包含了所有的极点
那么它的传输零点怎么确定
传输零点也不需要绕道G(s)再去求
而是直接考察下边这个分块方阵
[P Q;-R W]这样一个分块的多项式矩阵
我们给它个名字叫系统矩阵
这个矩阵和状态空间模型里面A矩阵不是一回事
这个要区分一下
那我们就看这个系统矩阵[P Q;-R W]
这个多项式矩阵在哪些s的地方它的秩会低于它正常的秩
作为一个多项式矩阵的秩
那么这样的s我们把它称为系统的传输的零点
这样的话我们就会发现如果我们给定的PMD
的参数矩阵已知了而且它恰好满足我们说的不可简约条件
就是P Q互质P R也互质
那我们在确定这个PMD所对应的传输零极点的时候
就简单了我们就直接求P的行列式等于零的根
就得到了所有的传递函数的极点
那我们的传递函数的零点都可以通过观察
[P Q;-R W]这个系统矩阵
什么时候降秩的s来确定它的所有的零点
当然降秩的s怎么来求的
实际上因为它是一个多项式矩阵
完全可以求这样一个多项式矩阵
史密斯形里边的不变多项式的根得到
这个类似我们讲的那些史密斯麦克米伦形里
的epsilon多项式的求的方法
那么介绍了传输零极点以后
我们接下来重点来介绍一下PMD的解耦零点
这个解耦零点的概念为什么这么重要呢
是因为我们在频域里边单变量的频域理论里边
很重要的一个现象就是说我们组成复合系统的时候
比如说串联校正的时候我们常常会碰都这样一种情况
就是不同模块之间会发生零极点的相消现象
而这个零极点的相消现象
到底对整个这个系统的结构有什么影响呢
我们在经典的频域理论里边没法完全展开
因为我们讨论的是简单的传递函数
PMD给我们提供了一个一般的描述的基础上
我们不但对于单变量的传递函数
可以讨论它的零极相消的性质对系统的影响
甚至是多入多出的MFD模型给出的频域描述
我们也可以非常精准的更加确切的来讨论
这个系统零极相消这一类大的现象 而这个现象
早在适合多变量分析的时域理论里头早就有清晰的介绍
那我们现在介绍解耦零点的概念就是
利用PMD它能够把时域频域分析给它统一起来的优势
能够把在频域里头不太容易说清楚
这种尤其是多变量的零极相消的现象
给它一个更确切的描述
从而能够把系统的结构分析的更加清晰
那我们下边就来给大家定义解耦零点的概念
就是给定一个PMD它的参数矩阵P Q R W
那么对这个PMD来说它的解耦零点定义为下边这两类
一类就是P Q的最大左公因子行列式等于零的根
我们把这类s称为是这个PMD的输入解耦零点
P Q的公因子等于零的根称为输入解耦零点
那么P R的最大右公因子行列式等于零的根
称为输出解耦零点
那么大家就可以看到
如果给的这个系统PMD本身是不可简约的话
那么它不管是做最大公因子还是右最大公因子
这个P Q P R的公因子都是单模阵
就没有让它行列式等于零的根
也就是不存在解耦零点
那么所以按照这个定义来说的话
对于一个PMD真正出现解耦零点是什么情况呢
就是PMD本身是可简约的PMD
也就是说不满足不可简约的PMD的互质条件
这个时候它有可能有输入的或输出的解耦零点
咱们定义了PMD的解耦零点
那么对于解耦零点的物理意义的解释我们下边
是借助于熟悉的状态空间模型
如果把状态空间模型当成是特殊的PMD
当然也可以按照这个PMD来确定它的输入输出解耦零点
那么对于这个状态空间而言它的输入解耦零点是什么呢
就是让P和Q的最大左公因子行列式等于零的根
而现在P和Q正好就是sI-A和B
这样就是sI-A和B的最大左公因子行列式等于零的根
而sI-A和B的最大左公因子又是谁呢
我们通过简单的分析特别是利用卡尔曼结构分解定理
很容易知道sI-A和B的最大左公因子行列式等于零的根
恰好是A B构成的不能控子空间相应的特征值
就是那些不能控模态对应的特征值
而输出解耦零点
sI-A和B的最大右公因子行列式等于零的根
那么通过卡尔曼结构分解定理
就是状态空间模型的模态经过坐标变换以后
的出来不能观这部分的特征值
所以我们就看到了实际上解耦零点
它本质上在状态空间模型里边它对应的是那些
不能控和不能观的模态
那这些不能控和不能观的特征值
事实上大家知道在状态空间模型里边
sI-A的行列式是整个状态空间模型的特征值
是它的所有的极点
所以在本质上说解耦零点既是零点又是极点
这些极点无非是不能控不能观的这些极点
所以这就出现了一个名字
就是解耦零点的意思是对消的意思
就是产生了零极相消的s就是它既在极点里也在零点里
所以这是PMD的解耦零点的直接的解释
就是解耦零点它本身是那些产生了零极相消的那些极点
那么它在零点集合里也有在极点集合里也有
是两部分公共的
我们把它称为是解耦零点
但它本质上也是极点
那么我们在考虑一下在MFD这个框架里边
那么MFD它也是特殊的PMD
那我们看一下右MFD就是ND^-1
那我们说从PMD的特殊结构上来看
这个右MFD它只可能有输出的解耦零点
这个输出的解耦零点就是N和D这一对多项式矩阵
它的最大左公因子行列式等于零的根
就是分子分母矩阵的最大公因子
那么当然我们在最大公因子有了以后可以对MFD做化简
就是分子分母同时把最大左公因子除掉
就是乘上它的逆就可以得到一个不可简约的MFD
那么同样对应相同的传递函数矩阵
所以也可以说如果我给出的MFD是右MFD的话
它分子分母如果是不互质的
这时候它最大左公因子行列式等于零的根是非空的
也就是说它是有输出解耦零点的
那么对于左MFD来说它不可能有输出解耦零点
它只可能有输入解耦零点
输入解耦零点就是A和B这两个多项式矩阵
它的最大右公因子行列式等于零的根
也就是A和B对应的左MFD约去的部分
当它要把左MFD化成不可简约的左MFD的时候
它分子分母要共同除掉的那个多项式矩阵
实际上它那个多项式等于零的根恰好就是输入解耦零点
那么我们前边也讲过对一个MFD而言
实际上它的分子行列式的不变多项式的根
恰好对应的是MFD的零点集合
那么分母的不变多项式的根对应的是极点集合
所以分子分母分别对应了零点和极点的集合
现在我们说
分子分母最大公因式里边的求行列式等于零的根
也是那些既在分母里也在分子里
或者说既是极点也是零点的这部分s
也是对应的是我们的解耦零点
所以到这为止我们无论是看状态空间模型还是MFD的模型
或者我们再回到更一般的PMD模型
我们说呢解耦零点的概念是实际上对应的是
那些发生了零极相消的那些位置上的s
好 我们这部分就到这
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