当前课程知识点：线性系统理论 > 第七周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（二） > LST4-6-1 分离性原理（一） > 视频
大家好
这节课我们来讨论基于状态反馈器的状态反馈系统
前面我们分别讨论了一个系统如果可以引入状态反馈的时候
那么在状态反馈下面系统能够达到什么极点配置性能
或状态反馈动态解耦的性能
如果我们状态反馈不能物理实现时
我们可以通过状态观测器的方式来对系统状态进行重构
如果有这两方面的研究我们很自然地想到
如果一个系统状态反馈可以实现的话它能达到的性能
当我们引入状态观测器的时候
利用重构状态代替实际状态进行反馈的时候
它这时候达到的性能
是不是会受到影响是我们提出的一个问题
在这节课里我们会讨论一下这样会到来什么样的影响
假设受控对象的状态方程是diff(x)=Ax+Bu y=Cx
这是标准的状态方程的描述
对这个受控系统我假如说设计这样一个状态观测器
diff(z)=Fx+Gy+Hu
观测器的输出x~=(T^-1)z
上次课我们证明了如果F G T这三个矩阵满足下面的条件
这时候观测器的输出就可以用来重构系统的实际状态
这样以x为状态的系统和以z为状态的系统
这两个系统联立起来写成一个新的系统
这时候在这个新的系统下状态反馈的表达式是什么呢
我们最初的
如果这个系统状态完全可测量的话
这个状态反馈律U=-kx(t)+v(t)
V(t)是我们的参考输入
如果这个状态不可测量
我们要用状态观测器来进行重构的话
那我们这个状态反馈律里面的x(t)
kx(t)里面的x(t)
就需要用重构的状态来代替
这是我们引入状态观测器的目的
那重构的状态是什么呢
就是我们上面的表达式里面
就是z这个观测器的输出方程
x^(t)=T^(-1)*z(t)
所以说我们在这个状态反馈律下面
去求它的闭环系统状态方程的话
我们就可以整理出这样的方程
x和z联立成一个新的状态变量的话
这个状态方程的系数矩阵就变成这个样子
这个系数矩阵不仅和原来的A B有关
还和我们的状态观测器G C F H T
以及我们的反馈系数矩阵k有关
那我们来看一下这两个联立的系统
联合的系统它满足一些什么样的性质
首先第一个我们非常容易看到
这个新的系统基于重构状态反馈系统
它的维数就等于被控系统的维数加上观测器系统的维数
这个大家很容易看到
因为这个维数是x的维数加上z的维数
这一步实际上我们还可以进一步
我们如果只看x和z这两个状态联立所满足的方程
实际上它的结构信息实际上并不是那么清楚
因为x z的系数矩阵不是一个很简单的结构系统
它的对角块不是零 非对角块也不是零
那我们是不是能够通过一种变换
把这个结构变得更清楚一点呢
我们讲是实际上是可以的
下面做这样一个状态变换
我们把xz的做一个状态变换 x一拔 z一拔
x一拔实际上还是x 原来的受控系统的状态
z一拔等于什么呢z-Tx
这实际上就对应于我们观测器的观测误差
所以说就等价于
闭环系统我们可以用受控系统的状态
和观测器的状态来表述这个闭环系统
也可以等价得用受控系统状态
和观测器的观测误差来描述这个状态
我们在新的状态变换下面
去看一下系统的状态方程是什么样的
我们结合F G H T所满足的条件
我们可以把这个状态变换代进去
我们可以计算得到s一拔和z一拔
它满足的状态方程有这样一个简单的形式
其中s一拔和z一拔前面的系数矩阵是上三角的
上三角矩阵的表达形式
而v前面这个系数矩阵它下面这一块正好是零
大家可以看到
这实际上是一个典型的系统能控性分解的一个形式
其中F这一块
F这个矩阵对应我们整个闭环系统的不能控部分
大家可以看到z一拔一点等于Fz一拔
然后它和v是没有关系的
所以不管v参考输出怎么去变化
它不影响z一拔这一部分状态的变化
所以这一部分是不能控制的部分
而v的变化可以影响x的一拔
也就是x的状态变化
所以说这个闭环系统是不完全能控的
而且它对应的观测误差是不能控的部分
被控系统的状态是它能控的部分
这是我们做这样一个状态变换以后
就可以得到这样一个比较简单的分解
大家注意这里的不能控性实际上是一个好的性质
是我们希望的性质
因为我们希望观测误差
它的收敛性不依赖于我们对实际系统的参考输入
否则这样观测系统设计就会复杂的多
那我们看一下这时候闭环系统传递函数矩阵是什么样的
我们有这样一个基本的结论
我们基于重构状态反馈的闭环传递函数矩阵
它和直接基于状态反馈的闭环传递函数矩阵
这两个传递函数矩阵实际上是一样的
那这个结论实际上 多少是违背我们直观
因为我们知道 基于重构状态反馈的系统维数
是比我们直接基于状态反馈的维数是要高的
因而它多了的这部分动态是对应于我们状态反馈器的动态
那为什么它们传递函数矩阵是相同的
我们知道这实际上是由于闭环系统的不能控性造成的
我们简单地证明一下
我们直接基于状态反馈的闭环传递函数矩阵是什么呢
大家都知道就是我们原来的系数A变成A-BK
这时刻传递函数矩阵就是C(sI-A+BK)^(-1)*B
而我们如果用了这个重构状态代替真实状态进行反馈
我们就可以写它的传递函数矩阵
我们用的是什么呢
用的这个是刚才基于状态变换后的状态方程
那我们看v到y的传递关系
只不过A B C矩阵换成这三个
方程里面所表示的三个矩阵
把这三个矩阵带进去以后
我们可以看到 C变成[C 0] B变成[B 0]
A变成了这样上三角块的矩阵
把这个代进去以后发现
在中间这一块sI减去分块矩阵 再求逆以后
发现在求完逆以后 它实际上还是一个上三角矩阵
其中第一行第一列这个矩阵块是(sI-A+BK)^(-1)
是和我们直接基于状态反馈的形式是一样的
第二是sI-F是和我们状态观测器的 系数矩阵是F
是和状态观测器有关的
而我们右三角打*的这个地方
它是多少和我们最后的传递关系表达式是没有关系的
所以我们这儿具体形式就不写出来
这个我们把代进去以后
由于C右边这一块是0 B下面是0
所以代进去以后
大家发现最后传递函数(sI-F)^-1
是不出现在这个传递函数里面的
包括这个打*是不出现在传递函数里面的
而这样得到的传递函数矩阵
和我们直接基于状态反馈的闭环传递函数矩阵是一模一样的
为什么会一模一样呢
我们知道实际上这就是由于我们的系统
这个基于重构状态的闭环系统它是不能控的
不能控就会发生零极点相消
发生零极点相消以后就会造成
虽然这个系统状态维数增加
但是这个闭环传递函数矩阵的阶数不增加的现象
好 我们这次讨论就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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