当前课程知识点：线性系统理论 > 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（二） > LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一） > 视频
我们现在来讨论一下传递函数的实现问题
传递函数的实现问题
跟我们讲建立状态空间模型的时候
讨论如何根据一个实际物理系统
列写相关的状态空间表达式
建立起来一个时域的描述
这个问题关系很密贴
我们也讲过根据高阶方程怎么样来
导出相应的状态空间表达式
那我们还给出来基于能控标准型的这种实现的方式
应该说现代控制理论是建立在状态空间分析方法之上
获得状态方程和输出方程是
研究这个实际系统必须要解决的问题
在描述部分已经了解到
通过对物理过程机理的分析
基于对状态变量的选择
还有物理定律
我们可以列写系统所服从的状态空间描述
在实际物理过程当中这种机理分析的方法
如果能用尽量要用
但是有些实际过程往往过于复杂
我们可能要退而求其次
不是一定能够把物理过程描述清楚
这个时候我们还会采取一些变通的方法
一种变通的方法
是我们用实验的方法来建立它的输入输出关系
然后在传递函数基础上来做它的状态空间描述
这个时候我们建立的空间状态描述
就不一定能够跟它的物理过程完全对应起来
它的状态变量的选取
另外为什么不能说很多系统
或者有些情况下基于物理定律做这种机理的建模
还是因为有些系统的结构参数甚至是未知的
那你想要把这个方程列出来
A B C D这些系数有的时候列不出来
那怎么办呢
就是刚才我提到的
变通的方法是先获得传递函数矩阵
这个用实验的方法来做
实验的方法可以根据输入输出信号之间的关系
我们假定的传递函数矩阵的话
或传递函数本身都是说一个零初态的情况
我们去做它的分析
这就是系统辨识的实验方法
根据传递函数矩阵
我们通过实验建立起来的数学描述
我们再来列写这个状态空间描述
那就是一个
完全从传递函数出发得到系统状态空间描述的问题
这个在理论上称为实现问题
实现问题还有一种情况来源
如果我们去设计一个系统
然后这个控制器本身还没有
我们需要通过一个方法给它构造出来
这个时候也可能用的是基于频域的方法
我们首先获取的是一个传递函数
然后在物理上把这个装置实现起来
所以为什么叫实现呢
也有这个原因
我们是有了一个传递函数
想得到它的状态空间的描述
那就是实现
这里面还有一个历史的原因
我们历史上做一个控制装置的时候
往往是用一些最最基础的原器件
然后把它组成了模拟的运放的电路
或者叫模拟计算机框架底下
来实现控制器
这种情况下由于我们的组成单元
它都是惯性的环节
都是最基本的单元
所以我们要把一个高阶的传递函数
比如分子分母都是多样式的一般的情况
需要把它还原到
能够用积分器和它的这种反馈进行框图的组合
得到具体的控制装置
这个也是实现概念的一个来源
总之我们从一个传递函数得到状态空间描述的这个问题
把它总称为实现问题
关于实现问题
我们在建模的地方已经做过初步探讨
下面我们还是要引入最小实现的概念
在讨论最小实现之前我们回顾一下单变量系统
就是单输入单输出系统
它的能控实现和能观实现
假设我们的对象是一个传递函数
这个传递函数由分子比上分母
详见PPT
我们要给它找出一个相应的状态方程和输出方程
使得这个状态方程和输出方程所描述的系统
恰好具有我们指定的这个传递函数的形式
那么根据我们建模方面的介绍呢
实际上我们可以用很简单的方法
把这个输出变量和它的各阶导数一直到n-1阶导数为止
选为我们状态变量的话
很自然的我们可以建立起来具有能控标准型的实现
A矩阵只有底下一行
它的分母多项式的系数填一个负号
上面是个简单的n-1阶的单位阵
B输入向量在能控标准型里面
它是[0 0 1]的形式
C输出的行向量恰好是分子矩阵的各个系数
所以这个形式应该说
从传递函数导出这个状态空间实现
如果是单输入单输出是非常简便的
当然也有能观性的实现
我们没有着重去强调
但是也是对偶的
我们在能观标准型实现里面
这个A矩阵它出来以后
它只有最右边的一列是分母多项式的系数填个负号
然后输入矩阵是这个分子多样式的系数
B这些参数
输出是一个[0 0 1]的形式
这就是我们对实现问题的简单介绍
-线性系统理论的一个有趣应用
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