当前课程知识点：线性系统理论 > 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构 > LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数 > 视频
好 我们接下来给大家介绍传递函数矩阵的最小多项式基
这个最小多项式基实际上就接着我们刚才讲到的
我们对于一个右零空间而言的话
总是能找到一个多项式基
那么我们接着 通过以下的步骤
我们会发现什么呢
其实你可以从这个多项式基里面找出来
在这个多项式基里面找到尽量简单的一组基
这组基是怎么找的 按照下面的步骤
就是你给另一个传递函数矩阵
它的右零空间Omega_r
它的多项式基里面一定存在着一个
就是所有多项式化零向量里面
一定存在着一个基向量f1(s)
使得什么呢
使得首先G(s)*f1(s)=0
否则它就不是化零向量了
并且呢 就是说如果某一个多项式向量g(s)
它也是化零向量 G(s)*g(s)=0
那么我们能够保证
f1(s)的次数是不超过G(s)的次数的
那么依次类推我们可以找到
和f1(s)线性无关的G(s)的化零多项式向量里面的
其他的次数最低的一个基向量称为F2
这个过程一直到什么为至呢
找到p-r这么多个多项式向量为至
这样一组基向量特别这么找到的多项式向量
我们把它称为最小多项式基
那么这时候从第一个 我要解释一下
第一个次数最低向量存在性
实际上依赖于多项式的特点
就是每个多项式都有一个次数
而这个次数是不能低于零次的
也就是说你最低也有个下限
这样的话我们在所有化零向量的里面
总能够找到次数最低的这么一个向量
把它拿出来然后在这个基础上
按照刚才说的步骤
可以把所有的其它的基向量都找齐
并且使它的次数达到最低
这是最小多项式基
传递函数它的最小基里面的多项式可能不是唯一的
比如说你给它乘个常数
它肯定次数不变 但它本身向量就不一样了
但是最小多项式基的多项式次数是唯一的
我们对于这个右零空间的这组最小多项式基的次数
把这个集合我们把它称为是
传递函数矩阵G(s)的右最小指数集
右最小指数构成的集合
一共有多少个呢 是p-r个
这个指数 每个指数是多少次呢
就看这些最小多项式基的向量的次数
那么类似的 我们也可以定义左最小指数集合
这个左最小指数集合指的就是左零空间里面最小多项式基
它的次数最低的这个 q-r个
我们把这个最小指数集 不管是左边还是右边
我们通常把它称为Kronecker指数集
比如说右最小指数集就把它称为右Kronecker指数集
左最小指数集我们把它称为左Kronecker指数集
那么这里是历史原因来命名的
那么最小指数它本身这些指数的大小
比零空间当中 简单的说p-r或者q-r这个维数
能够更准确的反应G(s)的奇异性
那么我们后面会结合这个亏数的讲解
让大家更清楚的看到这一点
但是我们现在想强调是
我们为什么非要去关心最小指数
这里面我们特别对于刻画右最小指数集所刻画的奇异性
我把这个称为零空间的阶
右零空间的阶定义为 右最小指数的和
那么左零空间的阶次 指的是左最小指数的和
那么我们下面就考虑这样一个非常重要的问题
就是说大家可以看到
从概念上说这个最小多项式基是存在的
我们可以遍历所有的化零向量
挨个把它一个一个找出来
但是从我们计算的角度上
这件事显然是不可行的
因为这个化零向量无穷多个
枚举是枚举不过来的
那么到底我们怎么样去
确定一个传递函数矩阵的右最小多项式基
或者左最小多项式基
左零空间 右零空间的最小多项式基
下面我们说 其实这个道理很有意思
它是通过两个大的化简的步骤
从一组多项式基出发来导出的
这个概念其实很容易理解也很自然
那我们下面来介绍基本的算法
首先第一步 就是我们前面说了
你很容易找到一组有理分式基
然后通过通分乘以最小公分母
就可以把它的这个有理分式基导出多项式基
我们现在不妨就从一个传递函数矩阵
一个右零空间的一组多项式基
我们把这组多项式基写成这样
列向量分块矩阵的形式把它称为F(s)
那么这样的话 其实我们就是给出了G(s)*F(s)=0
这个是化零空间的基所要满足的条件
当然我们还约定 F(s)的各个列之间是线性无关的
这个也是有要求的 那我们化简步骤分为两步
通过这两步可以导出一组最小多项式基
第一步我把它称为约分
这个约分不是各个元素之间的约分
因为我们给出的都是多项式的向量
这已经每个元素都是多项式了
这个约分指的是把这些列看作是多项式向量
然后对它求取最大公因子
那我们是干嘛呢 就是对F这个矩阵它的各个列
求它最大的右公因子 那么我们把它记作R(s)
最大右公因子使得F(s) 写成乘以F'(s)* R(s)
这个F'(s)是谁呢 F'(s)是对于任意一个s来说
都是一个列满秩的 这样一个不可简约的多项式矩阵
也就是说我们什么情况下分解出这个R
是它最大右公因子呢 是你剩下的因子F'(s)
它本身得满足不可约的条件
也就是说这样一个矩阵
把不管是什么样的s代进去
整个这个矩阵它都是列满秩
那么这样的话 我们实际上可以判定
那么我们用这样一个F'(s)
来代替我们原来给出来的多项式基F
来做为一组新的多项式基矩阵 进入下一步
所以整个这个过程是从一个给定的多项式基F出发
我们要通过两步导出F''(s) 现在已经是了F'(s)
就是把F里边包含的各个列的公因子给消掉
那么我们很容易看出来什么呢
就是说你把这个F'(s)去换F(s)的话
G(s)*F'(s)仍然等于0
因为这个公式里边G(s)*F(s)=0
给它两边同时右乘上R逆
那么结果是一样的 仍然是0
而这个G(s) *F(s)*R(s)^(-1)就是G(s)*F'(s)
所以F'(s)本身仍然还是右零空间的一组基
这个没错的 本身它也是多项式基
第二步是干嘛呢 就不是约分了 约完了以后
我们把这个列次数要做既约变换
就是通过引入单模的列变换得矩阵
使得F'(s)*U(s)变换阵以后 得出了F''(s)
满足什么呢 F''(s)构成一个列次数既约矩阵的条件
那么一旦做到这一步
我们就可以输出F''(s)
也就是F''(s)各个列
就恰好是我们要找的那个最小多项式基的
这一组多项式向量
它们的次数可以证明
是满足了所有的基向量里面次数最低的组合
那么F''(s)什么叫变到列既约
我们在这再提一下列既约矩阵的定义
它是列既约矩阵实际上就等同要求什么呢
就是我们F''(s)各个多项式向量的列次数
就是这一个向量的列次数
实际上就是这里面多项式次数最高的次数
各个元的次数最高的数称为列的次数
那么把这些列次数加一块 求出来的和
这个和如果能够知道什么呢
就跟我们的p-r列数能够
这么多个列次数之和如果加起来
等于什么呢 等于我们这个F''(s)里面
某一个p-r阶 尺寸最大的这样一个p-r阶子式的
它的行列式次数的话 那么我们就知道
我们这个F''(s)找到了
所以我们把F'(s)通过它的列次数既约化
也就是说F'(s)有可能开始它的列次数不是既约的
那么会出现什么情况呢
就会出现我们列次数之和比它所有的p-r阶子式的次数之和
子式的行列式次数都要高
这个时候说明在次数当中存在着一定的水分
所以我们说
怎么样去构造一个传递函数矩阵右零空间的最小多项式基
其实通过这两步
一步约分一步列次数既约化就可以导出来
它这个满足要求的最小多项式基
下面我给大家一个例子
这个例子是一个一行三列
也就是说是一个三输入单输出的一个传递函数矩阵
G(s)它是1 1/s -1/s
那么这个时候我们知道 p等于3然后秩求一下是1
这样的话我们右零空间的维数
Omega_r的维数p-r=2
那么这样的话我们先来看一下
Omega_r的多项式基
我们通过非常简单的构造很容易观察出来
就是说我们可以用[-1 s 0] 代入
发现它是一个化零向量
然后也是[1 0 s]也是一个化零向量
这两个化零向量之间是线性无关的
所以我们可以把它们组合起来构成一组多项式基
但是这组多项式基是不是最小多项式基呢
也许有的同学一看
两个都是一次的 次数已经都是挺低的
是不是就已经是了呢 这个可不好说
我们接着来检验一下 我们给出来
把它们这两个向量做成一个分块矩阵 记作F(s)
也就是[-1 s 0; 1 0 s]
那我们接下来我们要去求它的最大公因式
求最大公因式的方法
大家去参考一下教材里面
构造性的有一个最大公因子的构造定义
也就是通过行初等变换
把这个分块矩阵我们能变成一个2*2的非零分块出来的话
这个底下变成两个零的话 我们就找到了
用这种方法我们很容易地知道什么呢
就是说它的最大公因子
这两列的最大公因子是谁呢
其中一个最大公因子是[-1 1 0 s]
就是我写的这个地方
那么提出来这个最大公因子以后
剩下的是F'是谁呢
我们经过计算知道
它就是我写在这个地方的
[1 –s 0; 0 1 1 ]这样一个矩阵
然后它乘上[-1 1 0 s]
乘出来的结果就是我们给出来的F
那么F'现在就是一个不可简约的一个多项式矩阵
大家可以很容易验证 我们可以看到
就是说你这个第二个向量 第一个向量它还是基向量没变
第二个向量我们求出来是[0 1 1]
[0 1 1]代进去以后它也是一个基向量
而且它也是一个化零的
因为我们看到1/s -1/s两个一加刚好等于0
所以我们就知道
用这种方法我们可以求出来一个新的基
而这组基和前面对比我们会发现
前面是两个各为一次的多项式向量
而现在是有一个是一次的 一个是0次的
显然它的次数降低了
所以我们就会通过这个例子看出来什么呢
就是说只有满足不能再约分的前提下
你才有可能是最小的多项式基
否则的话你肯定还得继续化简
那么到这一步是不是就一定是最小多项式基呢
我们前面的分析说明了列次数还要检验是否已经既约化
那我们对这个例子来看
它的次数两个列次数
第一列是1 第二列是0 1加0是1
然后我们再看一下
这里面2*2就是p-r这么多阶的一个子式
是不是也正好它们的次数能够达到一次
我们发现是 因为其中有[-s 1 ;0 1] 这样一个
后两行的这样一个2*2的子式
它求行列式以后它的次数恰好也是1次
所以这样的话 我们就没有必要再进一步去求F''
因为F'本身就已经满足这个列既约化的要求
所以它构成了最小多项式基
那么我们就求出来右最小指数集
分别是1和0 当然你要真正按照从小到大排列
应该排成0和1 那么这样的话我们给的例子
就确定了最小多项式基 以及最小指数集
好 我们到这儿
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
