当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三） > 视频
同学们好
这一课我们来学习无静差跟踪控制系统
前面我们定义了
跟踪控制和扰动抑制这两个问题
以及这两个问题我们需要同时解决的时候
实际上就形成了一个无静差跟踪控制问题
那么这节课我们来学习
怎么样从控制器的结构设计上
来解决这样一个无静差跟踪控制问题
我们来看一下这个控制系统的框图
假设我们现在有这样一个被控对象
这个被控对象受到一个控制输入u的影响
同时也受到一个扰动输入w的影响
那为了同时实现
对y0(t)这个参考输入信号的无静差跟踪
以及在扰动w(t)下面 仍然能够不影响这个性能
我们需要在这个系统里面 引入两个控制器
第一个控制器我们叫做伺服补偿器
这个补偿器实际上是
为了抑制我们这个扰动输入的影响而引入的
这个补偿器它的模型是什么呢
其实就是我们前面的
参考输入和扰动信号共同不稳定的
那么一个状态空间模型
这个状态空间模型的系统系数矩阵
Ac包含参考输入和扰动信号的
共同不稳定信号的模式
那么这个系统的
伺服补偿器作为一个动态系统
它的输入就是我们系统的输入跟踪
参考输入y0(t)的跟踪误差
那么它的输出u1(t)实际上就是这个
xc(t)的一个线性组合
它也是我们最后形成
u(t)这个控制信号的系统的一部分
那么第二个补偿器 我们叫做镇定补偿器
它的引入是为了使得
整个闭环系统渐进稳定而引入的
这个补偿器很简单 就是一个静态状态反馈
它是以这个受控系统的状态x为反馈信号的
这么一个静态状态反馈
那我们下面从这个数学分析上来看一下
这样一个控制器的结构我们怎么样去设计
它们如何实现 无静差跟踪的这么一个目标
首先我们为了简化起见
我们假设现在这个系统 是一个单变量的系统
也就是说这个输入 输出以及扰动信号
都是一个标量信号 就是一维信号
那这样的话我们首先来看一下受控对象
受控对象在这个反馈控制律下面
也就是说在这个镇定控制器下面
我们可以写出它的状态方程 x一点(t)
引入Kc这个状态反馈以后
我们知道这个系统系数矩阵
就从A变成了A - B Kc
那么这时候我这个系统
我们知道从前面我们介绍的 系统的模型
我们知道 这个系统受到u1的影响
也受到w的影响
u1是作为控制输入 w是扰动信号
那从这个方程里面 实际上我们就可以把y(t)
就表示成u1(t)和w(t)的 一个线性叠加的形式
那在复频域里面 实际上我们就可以写成
这样一个传递函数的模型
也就是Y(s) = G(s) U1(s) + Gw(s) W(s)
其中U1(s)和W(s)是u1(t)和w(t)的
拉普拉斯变换
这里面G(s) 等于(C - D Kc)括号
(sI - A + B Kc)的逆 乘以B 再加上D
Gw(s)等于 (C - D Kc)乘以
(sI - A + B Kc)的逆 乘以Bw 加上Dw
那么得到这样一个传递函数模型以后
我们就可以把整个闭环系统
这个模型结构进一步的明确
那我们看到 就像这个框图里描述的
输出y和参考输入y0(t)进行比较以后
得到的误差信号
这个信号会输入到我们这个 伺服补偿器里面
假如说这个伺服补偿器的传递函数叫做Gc的话
那么这个系统的输出u1(t)
紧接着又输入到 作用到这个控制对象上
那么它到y(t)的传递函数
就是我们前面推导出来的G(s)
那么外部扰动信号w(t)到y(t)的传递函数
就是我们刚才推导出来Gw(s) 这样一个信号
所以最后我们得到 这样的一个闭环控制系统
那么这个控制系统大家可以看到
现在等效的这个系统的两个输入
一个就是参考输入信号y0(t)
一个就是外部扰动信号w(t)
那控制目标是什么呢
根据我们前面无静差跟踪控制问题的定义
我们的目标就是使得跟踪误差e(t)
或者说是作为这个闭环系统的输出e(t)
（控制目标）是它当时间趋近于无穷时
这个信号趋近于0
这就是我们 实际上这个系统就是在
两个输入的作用下
使得一个输出e(t)它最终是达到一个稳态 趋近于0
这是这样一个基本的系统结构的描述
那我们现在再过来看一下
G(s)和Gw(s)它们的一些共同的特点
首先我们从它的表达式我们可以看到
由于G(s)它的极点是由(A - B Kc)
这个系统矩阵的它的特征值来决定
同样我们从Gw(s)的表达式里面（可以看出）
它的极点也包含了(A - B Kc)的它的特征值集
所以说 我们说G(s)和Gw(s)它具有共同的极点集
那这样的话我们就可以把G(s)和Gw(s)
用有理分式的形式表达出来
这个有理分式 因为这是单变量控制系统
所以G(s)和Gw(s)都是一个标量函数
由于它们具有共同的极点集
所以这两个有理分式的函数的分母多项式
实际上是一样的 我们都叫做d(s)
它们的不同是 它们的分子多项式是不一样的
我们把G(s)的分子多项式记做n(s)
把Gw(s)的分子多项式记做nw(s)
此外 我们把伺服补偿器的传递函数定义为Gc(s)
同样我们把Gc(s)也表达成一个 有理分式的形式
它的分母多项式是dc(s) 分子多项式是nc(s)
我们有了这样一个记号以后 我们就可以进行推导
我们刚才提到
这样一个无静差跟踪系统 它是在两个输入
参考输入y0(t)和扰动信号w(t) 共同作用下
我们希望跟踪误差e(t) 在稳态的时候趋近于0
所以我们就考察一下 那么在这两个输入信号下面
e(t)它的表达形式
e(t)的表达形式我们从这个系统框图里面
实际上不难推出来
我们可以得到
e(t)它的拉普拉斯变换是如何依赖于
Y0(s)和W(s) 这两个信号的拉普拉斯变换的
那么这个拉普拉斯变换 我们可以得到是这样
其中从Y0(s)到E(s)的传递函数
就是(1 + Gc(s) G(s))分之1
从W(s)到E(s)的传递函数
是(1 + Gc(s) G(s))（分之）Gw(s)
那我们可以看到 这两个输入信号到E(s)的传递函数
它的（分母）实际上是一样的
这个传递函数的模型
我们把刚才定义的
Gc(s) G(s) Gw(s)的有理分式表达式 代进去
代到这个表达式里面
这样我们就可以得到这样一个形式
其中 这两个传递函数的（分母）多项式
都是nc(s) n(s) + dc(s) d(s)
分子多项式
从Y0(s)到E(s)的传递函数的
分子多项式是dc(s)d(s)
从W(s)到E(s)的传递函数的
分子多项式是nw(s)dc(s)
所以大家就可以得到这样一个表达形式
从这个表达形式里面实际上我们就可以得到
实现无静差跟踪的充分必要条件
这个条件大家看 首先第一点
这个闭环系统必须是渐进稳定的
这个渐进稳定的条件反映在哪里呢
就反映在这两个传递函数的极点
是处在什么位置
或者说更具体地来讲 就是我们看到的这两个
传递函数的分母多项式
因为这两个分母多项式都是一样的
所以这个分母多项式它的根应该是
全部实部为负
这是我们闭环系统渐进稳定的
一个充分必要条件
所以第一个 nc(s)n(s) + dc(s)d(s)
这个多项式的根应该是特征值全部为负
那么这是第一个条件
那么第二个条件
由于这个参考输入Y0(s)和（扰动）W(s)里面
它是有可能包含不稳定的极点
那么这个不稳定的极点呢
我们知道稳定的极点 当时间趋近于无穷的时候
对E(s)的稳态值实际上是没有影响的
真正产生影响的是
y0(t)就是参考输入和扰动w(t)的 不稳定部分
所以我们必须要考虑这个不稳定的部分
它究竟会造成什么样的影响
那我们知道 如果要使这些信号对e(t)
或者说误差信号的稳态值不产生影响的话
那唯一的途径就是使得
我们在这个传递函数的结构设计上
使得这个系统的传递函数能够阻断
这些模式的信号 作用在E(s)
所以说我们唯一的方式就是能够通过零极点相消
把这些模式阻断掉
那这样大家就可以看到
我们如果这个dc(s)
就是在这个传递函数的表达式里面
标红色字体的这个传递函数里面
如果这个dc(s)它作为这个传递函数的零点的一部分
如果这个零点正好包含 Y0(s)和W(s)的不稳定极点
如果它和这些不稳定极点
包含这些不稳定极点的时候的话
那可以看到 那么这些零点
和这些不稳定极点 就可以发生对消
对消的结果 就使得这个不稳定模式
这个信号它不会出现在E(s)里面
所以说 我们这样就可以得到第二个条件
那么就是 dc(s)里面它的极点 或者说它的根
应该包含Y0(s)和W(s)里面的不稳定的极点
这就是第二个条件
为什么要求dc(s)是包含这些的呢
因为d(s)是我们控制对象的
它的传递函数的极点
而这些极点一般来讲 是我们无法改变的
我们能够设计和改变的 是我们伺服补偿器的极点
也就是dc(s)的特征根
所以说我们要求dc(s)要包含这些不稳定极点
所以大家从这里面就可以看到
为什么我们在设计伺服补偿器的时候
要把我们这个参考输入
和我们这个扰动信号的 不稳定的模型
要植入到这个系统里面
它的目的实际上就是为了使得
我们最后这个闭环系统的传递函数里面
这个零点 就是它这些不稳定的极点
出现在这个传递函数的零点部分
从而发生零极相消
使得这个不稳定部分 对系统的跟踪误差不产生影响
所以说 如果我们这个伺服补偿器
是按照我们刚才这个结构设计的话
就自然可以达到无静差跟踪的目的
所以说我们第二个条件
在刚才这个设计下面是自动满足的
所以说我们现在唯一需要保证的
就是我们闭环系统的渐进稳定性就可以了
那么这个渐进稳定我们怎么来考察呢
实际上我们根据受控对象的状态方程
和我们刚才设计的控制器结构
我们可以把这两个
因为我们知道
现在的闭环系统实际上包含两个动态系统
一个动态系统就是受控对象
另外一个动态系统就是伺服补偿器
所以说我们可以把这两个状态方程联立起来
然后把 y(t) = C x(t) + D u(t )+ Dw w(t)
然后误差信号等于y0(t) - y(t)
这个关系式我们把它代到这个方程里
最后我们就可以得到这样一个联立的状态方程
那么这个状态方程 它是受到输入信号u
也受到扰动信号w 也受到y0(t)的影响
那么w(t)和y0(t)的影响
我们刚才讲是可以
它对系统稳态的跟踪误差的影响
是可以通过我们伺服补偿器的结构设计
通过零极点相消来消除
那为了使这个闭环系统保持稳定
我们就需要在这个方程里 使得这个系统是能控的
也就是说u(t)这个输入变量
对x和xc这个联合的状态变量 它应该是完全能控的
所以说我们最后的这个问题
实际上就归结到我们现在写出来这个联立的状态方程
前面这个x和xc的 前面这个系统矩阵
A 0 -BcC Ac这个矩阵
和u前面这个系数矩阵B -BcD
这两个系数矩阵它们组成的
这个受控系统应该是完全能控的
这就是我们要求的一个条件
那我们实际上可以证明
如果假如说我们这个受控系统的输入维数
不小于输出位数
而且对参考输入和扰动信号的
它的不稳定模型的每个极点lamda_i
如果成立这样一个秩条件的话
那么这个控制系统是完全能控的
具体的证明大家回去可以自学一下
在我们教材的312页
那如果这个系统是完全能控的
那么我们通过前面学的这个极点配置定理
知道我们是可以通过极点配置 让闭环系统渐进稳定
这样我们就实现了 就能够
我们知道 就可以找到这样一个反馈控制器
让系统渐进稳定
同时我们这个伺服补偿器的结构设计
又恰恰把我们
参考输入和扰动信号的不稳定部分 把它消掉
把它们对系统跟踪性能的
或者跟踪误差的这个影响 阻断掉
这样就实现了我们的无静差跟踪的目标
那下面我们来用一个具体的例子
来说明一下无静差跟踪系统的设计过程
假设我们现在有这样一个四维的
状态变量为四维的控制系统
我们输入和这个扰动信号和输出
都是标量是一维的
假如说我们现在这个参考输入信号和扰动信号
都是一个阶跃函数
那我们问 是不是能够找到这样一个
伺服补偿器和镇定补偿器 使系统实现无静差的跟踪
首先我们来看 我们首先要找使得系统渐进稳定的条件
第一个我们刚才讲 如果这个系统的输入和输出的维数
它是满足刚才这个充分必要条件(i)
也就是说输入的维数不小于输出的维数
那么第二个 我们就需要找到
需要设计我们伺服补偿器的结构
也就是我们要找参考输入信号和扰动信号的
共同不稳定模型
由于这两个信号它都是阶跃信号
所以它们的拉普拉斯变换都是s分之1
也就是说它们两个信号的分母多项式都是s
所以这两个分母多项式的最小公倍式 就是s
也就是它的phi(s) = s
它对应一个不稳定或者说 是一个临界稳定的极点
lamda = 0
这样的话条件(ii)
我们代到条件(ii)里面我们知道
条件(ii)也是满足的
首先第一点我们可以保证
我可以找到这样一个反馈矩阵K和Kc
让系统是渐进稳定的 可以实现无静差跟踪
那具体怎么样找这个反馈矩阵呢
实际上就是一个极点配置问题
首先我们先把这个 伺服补偿器的模型先写出来
我们知道根据我们刚才的推导
由于这个共同不稳定模型包含一个极点在0的
这样一个模型
所以Ac也就是伺服补偿器的系统矩阵
Ac就等于0 bc我让它等于1
这样的话就很简单 xc（一点）就等于e
或者说等于 跟踪误差就等于y0(t) - y(t)
这样我就把这个受控系统 把它联合起来
构成这样一个5维的系统
也就是说 受控对象是4维 伺服补偿器是1维
那么这样一个联合系统就是5维系统
那么x的系统矩阵和u前边的系数矩阵
都可以写出来
那么这个大家也可以去验证一下
那么这个矩阵对是能控的 能控的矩阵对
所以说我们根据极点配置方法
假设说我们指定一组 稳定的闭环极点集
两个-1 两个极点在-1 一个极点在-2
还有一对共轭的复数根 -1+j -1-j
那根据这个目标 就可以找到这样一个
对于这样一个5维的系统
找到这样一个反馈系数矩阵KT
这样的话大家就可以看到
其中这个KT因为它是一个5维的向量
这个向量的前4个元素
对应于我们这个镇定补偿器它的反馈矩阵
那么第5个元素Kc
就对应于这个伺服补偿器里面的这个输出
这个矩阵 这样的话就完成了
通过这样一个过程我们就完成了 无静差跟踪的设计
好 我们这节课就讲到这里
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- LST7-4-1 严格系统等价（一）
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- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
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-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
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-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
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-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
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- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
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-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
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-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
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