当前课程知识点：线性系统理论 > 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一） > LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五） > 视频
我们给大家介绍了非常直观
并且应该是非常好用的能控性秩判据
大家已经看到了这个判据仅仅依赖A B这两个系数矩阵
那么我们接下来就给大家举个例子
下面我们就通过一个例子来展示如何应用秩判据
这个例子给了一个三阶系统 两个输入
大家可以看到它的A和B两个系数矩阵
那么接下来我们就构造Q_c这个矩阵
这个Q_c矩阵由于它是三阶的
所以我们是B AB (A^2)B 也就是n-1=2
把这几个分块矩阵算出来然后拼接起来
当然B直接拿来就可以了
然后AB可以计算出来
也就是把A B两个矩阵乘起来
它是[1 2;0 1;1 1]
(A^2)B可以在刚才乘出来的基础上再乘一个A
这样乘出来结果是[2 4;0 1;4 2]
我们把Q_c完整写出来
它是一个3行6列的矩阵
对这个矩阵用观察法就可以一眼看出来
它的前三列都是线性无关的
这样我们可以直接得出结论
就是这个系统是完全能控的
因为我们要求这个Q_c是行满秩的 也就是秩等于3
这是我们计算的一个例子
下边我们再看看秩判据对我们做一些综合
分析 设计有什么样的帮助
举一个图一所示的电桥的例子给大家展示一下
在探讨能控性条件时候秩判据有什么用途
首先给出系统的状态方程和输出方程
由于时间关系这不做详细推导
大家如果可以有时间检验一下
我们直接把结果写在这里
大家可以直接看到A矩阵
它的每个元素都是由电路的参数
通过一个有理分式给组合出来的
输入也是有一个分量非零的
输出是[1 0]这个向量
这里状态变量选取分别是电感的电流和电容的电压
我们来判断一下这个系统的能控性条件
我们看一下能不能通过加载电压
任意改变状态变量电压电流
我们来判断一下
能控性矩阵我们来写一下
由于这个系统是一个单输出单输入的系统
所以我们看到能控性这个里边呢它是一个输入列向量
然后这个系统是二阶的 两个状态变量变量
所以我们只需考虑b Ab 构成的Q_c就可以了
好在这个例子b和Ab参数都已经表达出来
所以我们把它直接计算出来构成Q_c矩阵（见PPT）
我们发现这是个上三角矩阵
所以我们可以看出它满秩等价于秩为2
也就是把两个对角元乘在一起不等于0
那么1/L是不等于0的
这里边可能等于0的情况出现在哪呢
Q_c的2 2这个元素
如果做差的这个式子两边相等
也就是我们列的不等号两边的式子相等就出问题了
系统就不能控了
所以包含R的这两个式子应该是不相等的
这个条件下Q_c的秩为2 系统完全能控
否则电桥满足平衡条件的时候
这给出的相等的这个等号对应的是阻抗电桥的平衡条件
那么我们无论如何改变u的输入都无法改变电容的电压
这就是造成系统不完全能控的原因
因为我们选了电容的电压作为其中一个状态的分量
-线性系统理论的一个有趣应用
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