当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-8-2 线性二次型最优控制（二） > 视频
同学们好
今天我们来学习下线性二次型最优控制问题的解法
前面我们定义了
线性定常系统的线性二次型最优控制问题的指标
以及它的最优控制问题的定义
那么在这里我们稍微把它推广一下
因为我们如下的结论里面
实际上它对线性时变系统也是同样适用的
所以在这里面系统的状态空间模型
我们假设它是一个时变系统
也就是我们的系统矩阵A和B
它是可以随着时间变化的 表示成A(t)和B(t)
这时候我们的状态矩阵是x^.(t)=A(t)x(t)+b(t)u(t)
那同样在性能指标函数里面呢
我们这个加权矩阵Q(t)和R(t)也可以是随时间变化的
但是它们尽管是随时间变化的
还需保证在任何时刻呢 Q(t)是半正定的对称矩阵
R(t)是正定对称矩阵
这是我们对二次型最优控制问题定义的稍后的一个推广
那么我们首先介绍一下这一节一个解的结论
我们说呢 对于这样一个性能指标
使得这个性能指标达到最小的最优控制
它的一个充分必要条件是什么呢
它应该满足这样一个反馈控制率
也就是如果u*(t)是使得性能指标最小的最优控制
那么s*(t)是在这个最优控制作用下的系统轨线
那么u(t)应该是x(t)的一个线性函数
也就是一个反馈控制率
那么这个反馈控制率
它依赖于性能指标里面的加权矩阵R(t)
也依赖于这个状态方程里面的u(t)的系数矩阵B(t)
其中这个R(t)在这个矩阵中是以它的逆矩阵出现
这就是为什么
我们在性能指标里面要求R(t)必须是正定对称矩阵
也就是说它必须是一个可逆的
那这里面还有一个变量P(t)
这个P呐它应该满足下面这样一个我们叫做riccati方程
这个微分方程的解pt应该是一个非负正定矩阵
就是它在任何时刻
它都应该是一个非负正定矩阵
而且它应该满足相应的边界条件 P(t_f)=S
这个S就是我们在这个性能指标里面
和状态的终端值有关的这一项的加权矩阵S
那这是我们的最优控制它满足的一个充分必要条件
下面呐 我们就从充分性和必要性两方面来证明这个结论
首先我们来看一下必要性
也就是如果我这个u*(t) 是一个最优控制解
它就应该满足这样一个我们刚才讲的这个条件
u(t)应该是一个反馈控制律
而且这个反馈控制律里面这个P(t)
也应该满足这样一个Riccati方程
那我们来看一下怎么来证明它
首先我们来考察一下性能指标函数 我们前面讲
这个性能指标函数是x(t)和u(t)的函数
表面上来看 它是x(t)和u(t)的函数
但实际上由于x(t)是依赖u(t)的 所以呐
J实现上独立的只依赖于u(t) 这里面呐
状态方程实际上就是我们可以看做
x(t)和u(t)的一个约束函数
所以我们这样一个优化问题
是在一个以X和U为自变量的这个优化指标函数
其中XU是受到一个约束的作用
是满足一个约束的 这样一个有约束的优化问题
那么我们知道在优化理论里面呐
通常可以引入一个拉格朗日乘子
使得一个有约束的优化问题
转化成一个无约束的优化问题
那这个拉格朗日乘子就是
把这个约束方程引入到我这个指标函数里面
就变成一个关于s(t)和u(t)的一个无约束的优化问题
那这个是怎么引入呐
我们可以看到
因为我们这个状态方程是x一点=Ax+Bu
那这个是我的约束
或者说呐 Ax+Bu-x一点=0
这是我们的约束方程
所以我们拉格朗日的乘子就是要和这个组合在一起
也就是说呐 我λ
假如说我这个拉格朗日乘子我们记做λ(t)
那λ(t)的维数是一个随时间变化的函数
它的维数和我们状态的维数实际上是一样的
所以λ的转置乘以我这个约束方程
Ax+Bu x一点这一项呐 就是我拉格朗日乘子这一项
这一项放到我这个性能指标函数里面
这个时候呐 我们就可以把
原来的关于x和u的有约束的优化问题
变成一个关于xu的无约束的优化问题
那这个性能指标我们下面要稍微的做一下变换
那怎么变换呐
这里面我们就是要引入一个
利用积分的分离原理
大家我们看在这个性能指标里面的最后一项
也就是λ的转置乘以x一点这一项
这一项我们知道由这个分部积分原理
λ乘以x一点的这个积分 我们可以用分离原理
写成λ的转置乘以x减去λ的一点乘以x的积分
我们把这个关系代进去以后呐
就可以得到这样一个关系
其中λ乘以x的积分的值就
放到前面λ t_f 乘以 x t_f λ t0乘以x t0这两项
它的终端时刻和末端时刻之间的差
那么积分项里面呐 原来是λt乘以x一点
就换成了λ一点t乘以x这样一项
那我们再把积分项里面呐 前面这些项
xt乘以Qt乘以x加上u(t)乘以R(t)乘以u
再加上λt乘以Ats加上Btu括号
把所有这些项合起来 我们把这个函数叫做H
这个H实际上包含了x 包含了u 包含了λ
依赖于时间t 那这个函数呐
我们叫做哈密顿函数 那么基于变分法原理
我们知道性能指标函数J 就表示成这样一个样子
它依赖于x(t) u(t)和λ(t)
那基于变分法原理呐 那么这个函数呐
就是说我这个 u*(t) x*(t) 如果是一个最小值
使这个函数取最小值的一个必要条件
就是说我这个性能指标函数
在u*和x*做一个无穷小的扰动的时候
这个扰动是deta_u(t)和deta_x(t)时候呐
它引起的目标函数的变化值是恒为0 也就是说呐
如果我这个t时刻 在t0和t_f任意选择的时候
那么相应的这个变化值deta_J等于扰动以后的这个值
减去没有扰动的这个值应该恒为0
当然这个扰动应该是无穷小的扰动
这实际上是我们在一元微积分求函数最小值的一个推广
我们知道 一个一元函数
取得最小的一个必要条件就是在这个点导数为0
在这里面也是一样 只不过这里面这个导数
由于我这个自变量x(t)和u(t)是无穷维的向量
这个导数呐 相应的实际上就是一个变分
那我们在这个函数里面呢
我们经过这样一个变换可以看到
由于lamda(t_0)^T*x(t_0)这一项实际上是一常数
它是和我们在整个时间区间上
x(t)和u(t)的取值是没有关系的
所以这一项对优化不产生影响后面把这一项可以省略掉
下面来具体看一下具体的变分过程是怎么来求取的
通过前面的整理
我们知道性能指标函数它是这样一个样子
其中呢H函数是原来的性能指标函数里边的被积函数
再加上拉格朗日乘子的转置
再乘以状态方程的右边的这一项
如果对J取变分或者说就取它的一阶无穷小
就是我们现在得到的这个样子
我们可以一项一项的求
第一项对x求变分的时候呢
首先对x(t_f)求导再乘以x(t_f)的变分
所以这个求出来就是Sx(t_f)deltax(t_f)这一项
第二项-lamda(t_f)^T*x(t_f)就很简单
因为它是x(t_f)的线性函数
求变分之后就是-lamda(t_f)^T*deltax(t_f)
这两项实际上可以合起来就变成
(见PPT)
lamda(t_0)^T*x(t_0)这一项由于不依赖
在这个积分区间上的取值所以它的变分就是0
它是作为常数项来处理
在积分式里同样道理H是依赖于x和u
所以它的变分可以分成两部分
一部分是和deltau有关 它前面的系数是
(见PPT)
一部分是和deltax有关 它前面的系数是
(见PPT)
第三项由于是x的线性函数所以求变分后就变成
(见PPT)
我就可以整理把同类项合并以后
就可以得到在积分号外面是deltax(t_f)的线性函数
在积分号里面分别包含deltax的线性函数
和deltau的线性函数
所以如果要求deltaJ在任何的deltax和deltau的取值下
都要为0的话
那么这三项前面的系数必须为零
所以说呢我们就得到了一个必要条件
就是我用红色蓝色
褐色字体标出来的这三个系数矩阵都应该为0
第一个条件就是(见PPT)
第二个条件就是(见PPT)
第三个条件就是(见PPT)
那我们来看一下这三个条件具体的
把H代入以后是什么样子的
拉格朗日因子应该满足这个条件
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
最优控制应该满足的条件是
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
这是着两个条件把H函数代入以后得到的具体的形式
所以我们把这三个条件整理一下
代进去以后我们就可以得到
首先状态方程变成
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
lamda（t)要满足的条件我们已经推导出来写在这
这实际上是包含了两组微分方程
如果x(t)是n维向量那这两组微分方程要定解的
我们知道x(t)在初始时刻等于x(0)这是一组边界条件
另外一组边界条件实际上刚才
在推导必要条件的时候实际上已经得到了
因为我们知道deltaJ里面的第一项如果要求在任何
x的变分下恒为0的话应该推导出lamda(t_f)=S*x(t_f)
所以这就是另外一组边界条件
这就是我们得到的两点边值问题
为什么叫两点边值问题
因为一组边界条件是在初始时刻
另外一组边界条件是在终端时刻
所以叫两点边值问题
解这样一个方程从数学上来讲并不是很容易的
这是我们首先得到的一个基本条件
这个条件实际上可以做一下化简
首先从这个方程我们来证明
由这个边界条件和这个方程的形式我们可以推导出来
x(t)和lamda(t)存在线性依赖关系
那怎么来证明呢
我们来看因为lamda和x满足一个这样的线性微分方程
线性微分方程的右边都是
lamda的右边都是x(t)和lamda(t)的线性形式
所以根据线性系统理论我们知道
我总能找到一个这样的状态转移矩阵
使得x(t)和lamda(t)的组合向量
等于x(t_f)和lamda(t_f)的组合向量前面乘以一个矩阵
这个矩阵是从t到t_f的一个状态转移矩阵
形式上我们可以这样写
这是我们线性系统理论的一个基本结论
这里面我们把边界条件代进来以后
就得到方程里面第三项的形式
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
把这个展开大家就可以看到
(见PPT)
(见PPT)
从这就可以看到x(t)和lamda(t)
都是同样一个向量x(t_f)的线性变换
如果这个线性变换比如说第一组方程(见PPT)
可逆的话我们就可以把它代进来把x(t_f)消掉
这样我们就可以得到lamda(t)=P(t)x(t)
P(t)是
(见PPT)
(见PPT)
所以形式上我们证明x(t)和lamda(t)之间
应该满足这样一个线性变换关系
实际上是存在这样一个P(t)矩阵
但是求P(t)这个矩阵的时候
并不一定需要把Phi矩阵完全解出来
我这里实际上是通过状态转移矩阵来证明
x(t)和lamda(t)存在线性依赖关系
到现在为止我们可以证明
最优控制必然满足这样一个反馈控制律
我们前面知道u(t)^*应该满足(见PPT)
这就是在一开始要证明的结论里看到的状态反馈律
这是我们得到的一个初步结论
那么这个结论的第一部分我们就得到了
那第二部分就是P(t)应该满足一个什么样的关系呢
我们首先来看lamda(t)=P(t)x(t)这样一个基本关系
我们把这两边分别求导
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
这是我们得到的第一个关系式
那我们从前面推导最优控制所要满足必要条件的过程中
实际上也推出lamda(t)它同时满足微分方程
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
这两个关于lamda(t)的微分方程减一下
就得到一个x(t)的线性函数
这个线性函数应该是恒等于0的
如果x(t)是不恒等于0的话那前面的系数矩阵
就应该是等于0的
所以由这两个微分方程
作比较以后我就可以得到P(t)应该满足的一个方程
就是我们前面充要条件里面给出的Riccati方程
这样我们就得到了x(t)和lamda(t)之间线性变换
矩阵P(t)所满足的Riccati方程
这个Riccati方程的边界条件怎么来确定的
它应该由lamda(t_f)满足的边界条件来取定
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
这样就得到了边界条件
所以我这个P(t)满足一个这样的微分方程
又有这样一个边界条件
所以原则上我们就可以把这个微分方程解出来
如果这个微分方程有一个半正定的
解响应的就会给出一个反馈的控制律
这就是一个必要性就是说如果u(t)是一个最优控制
那么u(t)一定满足这样的反馈控制律
而这个反馈控制律里面P(t)
要满足这样一个Riccati方程
下面我们来证明充分性
也就是说如果这两个条件要满足的话
它所对应的控制律
一定是使得性能指标取得最小的控制律
这是一个充分性
我们前面讲必要性并不一定意味着充分性
因为最优化理论我们知道
一个常识性的认识就是如果一个函数
关于自变量的导数等于0的时候
并不是取得全局最小的一个充分条件
因为这是它可以是局部最小
下面我们证充分性的时候就是要证明
我现在找到的满足这两个条件
反馈律和Riccati方程的最优控制应该是取得全局极小
而不仅仅是是局部最小
我们来看一下如何来证明这个问题
假如说这个Riccati方程满足
那我们把这个Riccati方程和状态方程
联立就会得到一个这样的结论
我们考察这样的一个基本关系
我们先定义一个这样的二次型函数就是
x(t)^T*P(t)*x(t)
这样一个二次型函数我们考察它在终端时刻
和初始时刻这两个时刻的差值
就是红色字体标出来的这一部分
从微积分的原理我们知道
这个差值就应该等于这样一个积分式
这个积分式里面的被积函数
就是二次型函数对时间的导数
我们来看一下
这个二次型函数对时间的导数具体有什么表达形式
因为这个二次型函数包含三项都是和时间有关的
所以这个导出来是三项
一个是(见PPT)
一个是(见PPT)
一个是(见PPT)
在这里我把x(t)满足的状态方程和P(t)
满足的Riccati方程分别代到方程里面去整理一下
最后就可以得到红色字体表示的一个积分式
这个积分式里面前两项
正好就是定义的性能指标的被积函数
在整理出来的这个积分式里包含另外一个二次型
(见PPT)
这里面e(t)等于
(见PPT)
这个关系式是把所有的状态方程和Riccati方程代进去
整理一下很容易得到
一开始的红色字体的这部分和后面红色字体的积分式
我们把这两边稍微调整一下
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
这时候方程的左边正好就是性能指标J
方程的右边就变成了这样一个常数项
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
(见PPT)
如果输入函数u满足Riccati方程和输入控制律
J一定是不小于(见PPT)
也就是说这时J一定取得极小
就是说我只要e(t)不等于0那么J就不会取得极小
我取得极小等且仅当e(t)=0
而e(t)=0就意味着u(t)应满足反馈控制律
所以这样我们就可以得到充分性的证明
所以我们从正反两方面从必要性和充分性我们证明了
一个线性二次型最优控制问题
它所要满足的一个充分必要条件
就是u(t)要满足一个这样的反馈控制律
反馈控制律里面的参数矩阵P(t)要满足Riccati方程
好这节课我们就讲到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
