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我们定义了这个传递函数矩阵的Smith-MacMillan形以后
就可以来研究这个传递函数矩阵最重要的一个结构性质
那么就是它的零极点
对于单变量的传递函数来说
零极点是非常容易确定的
那么就是这个有理分式的这个零点
那么就是它的分子多项式的根
那么极点就是它的分母多项式的根
这是在我们经典的频域模型当中大家非常熟悉的
而且也知道这个零点极点的重要性
包括比如说极点是决定了这个系统的稳定性的
那么零点和系统的响应动态过程是有关系的
那么怎么样把这个零极点的概念推广到
这个传递函数矩阵
也就是我们的多变量的频域模型当中来
怎么样去在多输入多输出的这样一个场景底下
来分析系统的零点极点呢
那么我们说
Smith-MacMillan形给我们提供了一个非常有力的工具
接下来我们就基于这个Smith-MacMillan形来定义
传递函数矩阵的零极点
对于一个给定的传递函数矩阵G(s)
如果M(s)是它的Smith-MacMillan形
并且具有这个M(s)等于这个对角型的形式
然后我们把它的r个非零的有理分式
这个对角元记做upsilon_1比上psi_1
一直到upsilon_r比上psi_r这样一个形式的话
我们就把这些upsilon多项式
也就是这个分子的多项式 把它的根称为G(s)的零点
那么这里头加了个括号 这个称为有限的零点
那么在这个多项式
就是这个分母多项式psi_1一直到psi_r的
它们的根我们称为这个G(s)的极点
或者我们打了括号 强调了一下
它是一个有限的极点
那么后边会把这个零极点的概念再推广到无穷远处
但是我们在这儿强调 你可以看到这个形式
就是说我们对一个传递函数矩阵而言
一旦把它的Smith-MacMillan形给确定下来
我们就可以找出这个传递函数矩阵的零点极点了现在
那么我们这儿给出来的这个例子大家也见到了 对吧
是一个这个Smith-MacMillan形
那么对这样一个系统来说 它的零点是什么呢
我们看到它的零点都是在s=0的位置 而且是三重的
有一个单独的s=0 这是1重了
然后另外s^2=0 是两重的零点 在0的位置
它的极点有几个呢 那我们看一下
这个(s+1)的平方和(s+2)平方乘在一起等于0
它的根实际上是4个 一个是-1 一个是-2
这两个位置上分别有两重的极点
那么还有一个位置也是s+2=0
那么是另外1重的
在s=-2的位置还有一重的极点
所以我们可以看一下这个例子
按照我们的定义来说的话 那么它的极点一共是有5个
分别在-1有两重 在-2有3重
那么它的零点有3个 在0的地方有3重的这个零点
所以我们现在就解决了一个什么问题呢
就是给定一个传递函数矩阵 到底它的零极点在什么地方
大家从这儿的定义可以看出来
你给定这个传递函数矩阵未必是这个传递函数矩阵本身
它的每一个元 它的分子分母的根
而是要把它变成它的Smith-MacMillan形以后
看这些对角元上边 这些有理分式的根
那么我们这里头需要注意的一点就是说
我们这个单变量的情况
那么我们给的这个有理分式的话
那么对于传递函数而言我们要求它是分子分母它是互质的
在我们刚才说的这个Smith-MacMillan形里头
在同一个位置上 比如说我们的upsilon_1和psi_1
它也是互质的这个多项式
但是由于我们是个多变量的情况
我们就会碰到这种情况
比如说我这儿举的这个例子
是M(s)它等于(s+2)平方乘以(s+1)平方分之s
然后第二个元素是(s+2)分之s乘以(s+1)
大家可以注意到
这个Smith-MacMillan形它也是满足这个要求的 对吧
但是在这里边你会发现 从零点的角度
它的零点就变成了s在0的位置有1重
然后s(s+1)=0是在s=0的位置有1重零点
在s=-1的位置也有1重零点
可是如果你观察这个系统的极点的话
你会发现它在(s+1)平方乘以(s+2)平方等于0
那么导出来是在s=-1的位置有两重的极点
在s=-2的位置有两重的极点
然后再算上第二个位置s+2=0
在s=-2的地方有3重的极点
你会发现这里边最有意思的一个现象就是
(s+1)平方等于0和(s+1)等于0
分别给出来在-1的位置上
在第一个元上给出来的是个极点
在第二个元上有个零点
那么由于它们在不同的对角元上不同的位置
所以这个极点和零点并不直接构成对消
所以我们就会出现一个在我们单变量的情况不会碰到的现象
就是对于多变量的传递函数矩阵而言
它有可能在同一个 在复平面上同一个位置上
既有零点又有极点 而不构成对消
而这个现象在我们经典的传递函数这个框架里是不可能出现的
那么这也是我们多输入多输出系统可能具有的一个特别的现象
那么这个地方就让我们知道
在这个多变量的情况
零极点的分布可能会出现一些比较复杂的情况
那么我们顺便来说以前我们了解的单变量的情况
对一个传递函数而言
我们有这个传递函数的特征多项式
那么很简单就是它的这个分母多项式就是它的特征多项式
那么极点是谁呢
就是特征多项式的根就是它的极点
而对于一个多变量的情况
我们现在定义了Smith-MacMillan形 也定义了它的极点
那么很自然我们也想到
就是说对一个多变量的传递函数矩阵
它的特征多项式是谁呢
我们这儿很自然的就把这个psi多项式
psi_1一直到psi_r相乘乘出来的这个多项式
称为是G(s)的特征多项式 把它记做Delta(G(s))
那么这个特征多项式Delta(G(s))
是可以通过我们化Smith-MacMillan形
把这些psi多项式找到以后 相乘得到的
但是也不一定就是说直接来这么算
我们在这儿给出来另外一个计算方法
那么就是说特征多项式Delta(G(s))
也可以由G(s)的所有阶次的各阶子式的
这个最小公分母来确定
也就是说你把这个元拿来
那么他的每一个元你进行通分
不但是把每个元拿来
而且要看它的2阶子式 3阶子式
一直到整个这个最大的子式
那么我把它的这个 计算出来都是作为有理分式
然后统一地进行通分求它的最小公分母
那么这样求出来的这个最小公分母
跟我们把这些psi找到了
然后把它们乘在一起得到的结果是一样的
那么这件事情的道理在哪儿呢
我们实际上也很容易来从概念上去理解
也就是说我从G(s)化成这个Smith-MacMillan形
是通过行列的初等变换就是单模变换给出的
那么这个单模变换它不会改变这些各阶子式的最小公分母
这个性质也是通过分析我们可以证明的
那么也就是说把这个各个阶的子式通分求最小公分母这件事
我们可以直接搬到这个Smith-MacMillan形来做
那么如果回到了Smith-MacMillan形的形式
由于我们的分子分母各个元upsilon和psi是互质的
同时我们的psi 从psi_1一直到psi_r
它是 从下往上是倒着可以依次相整除的
这个时候你很容易能够分析出来什么呢
就是如果最后我们对它进行通分的话 各阶子式通分
最后通出来的结果相当于是把这些psi乘在一起
所以我们有两种途径
但是后一种途径我说的 就是在这儿给出来
如果我们对一个G(s)
它的各阶子式直接求出来并且进行通分
那么求最小公分母的话 这件事大家看到有个优点
就是我们只是直接对这个G(s)而言来做操作分析
而不用转化成Smith-MacMillan形
尽管从理论上我们可以保证这两者是同一的
但是从 如果你仅仅是想确定它的这个特征多项式的角度的话
那么对于G(s)的各个元
和各阶子式进行通分来得更加的直接
那么接下来我们就来看一下这个传递函数矩阵零极点的
重要的有一条性质
这条性质实际上是传递函数矩阵零极点的一个等价的定义
这个定义是怎么说的呢
就说我们给定的一个传递函数矩阵G(s)
如果说 N D逆 是这个G(s)的一个不可简约的右MFD
就是说N矩阵和D矩阵构成了
这个G(s)的不可简约的一个右MFD的话
那么我们就可以从这个N和D分别去求取
这个G(s)的零点和极点
那么这件事怎么做的呢
就是说我们的结论是
G(s)的零点可以通过求N(s)的不变多项式来得到
那么D(s)的不变多项式给出了G(s)的所有的极点
那大家从这个结构上可以一目了然地可以看出来什么呢
那就是说 我们的这个MFD
就是之所以它成为
整个这个多变量的频域理论里边的一个基本的数学模型
一个非常重要的原因就在于
就是说我们这个传递函数矩阵的零点都包含在N当中
那么传递函数的极点都包含在D当中
这两个多项式矩阵分别从结构上
清晰地区分了零点和极点的适用的范围
那么也就是说我们通过给定N
可以来指定这个G(s)的零点
那么通过给定D
可以确定它或者说给定它所有的这个极点
这就使得我们的设计问题
特别是大家如果回忆一下我们在最开始讲的
这个补偿器方程里边
那我们会发现
我们有一个期望的闭环的这个参数矩阵
那个参数矩阵是谁呢
就是期望的闭环的MFD它的分母矩阵
那么我们给定它的极点实际上就是给定这个矩阵
只要我们把它的这个矩阵得到了
那么我们也就能够确定它的这个闭环的结构了
那么在这儿我们这个意义就联系起来的话
分析 还可以看到一件事情
就是我们的这个不可简约的右MFD
它的这个分母多项式D(s) 它求行列式的话
那么它这个行列式如果除掉一个常数的区分以后
他跟我们说的这个G(s)的特征多项式Delta(G(s))是一致的
那么这件事情为什么是对的呢
大家看到这个结论是非常重要的
也从一个方面来 就是支持了为什么要选择这个MFD
作为这个频域整个这个研究的数学模型
那么从这点看 我们看到他的关联性就体现在
就是它把我们原来熟悉的单变量的频域理论里头
分子来决定零点 分母来决定极点
这件事情直接地非常自然地推广到了多变量的情况
也就是现在变成了分子多项式矩阵决定零点
那么分母多项式矩阵决定这个极点
那我们就看看为什么是成立的
大家还记得我们前边给大家讲到
Smith-MacMillan形的时候特别提到了
就是我们给定一个传递函数矩阵以后
可以通过它的Smith-MacMillan形的两个结构矩阵
一个是E(s) 一个是Psi(s)
分别把这些upsilon多项式和psi多项式给它包含进去
并且构造出来一个不可简约的MFD
我们在这儿就回到这一点
那么我们看到的就是说这个 我们看到的这个
我们根据一个这个Smith-MacMillan形的
M矩阵的两个结构矩阵
可以写成这个M等于E乘以Psi的逆
进而我们可以构造G的这个它的一个不可简约的右MFD
也就是我们讲到的这个U乘以E就是它的分子多项式矩阵
那么这个V逆乘以Psi是它的分母多项式矩阵
那么我们前边也给大家介绍过
就是我们讲MFD的时候讲到过
就是所有的属于同一个传递函数矩阵G的不可简约的同侧的
比如说右侧的这个右MFD之间
它们分子分母之间只差一个单模变换阵
那么这样的一个广义的唯一性就保证了什么呢
我们刚才说到的
根据这个G(s)的Smith-MacMillan形构造出来的
这个不可简约的右MFD
和我们随便给出来的另外一个N D逆
这个G(s)的不可简约的右MFD
它们之间 分子分母矩阵之间 分别相差一个单模阵
那么这样的话我们就知道了
这个N和E之间它们实际上是Smith等价的
也就是说两者之间具有相同的Smith形
而其实我们验证一下的话会发现
这个E(s)本身就是一个Smith形
多项式矩阵的Smith形
那么这个Smith形的要求是什么呢
类似于我们Smith形里头
它的基本要求就是说这个upsilon多项式都是首一的
并且upsilon_1能整除upsilon_2
upsilon_2能整除upsion_3 等等
这样一个基本的要求
那我们看到E本身就满足这样一个性质
那么我们对这个Psi而言我们看到
Psi和D之间也相差一个单模阵
那么Psi和D具有相同的Smith形
这个时候我们就会发现
我们看到这个Psi它是psi_r能整除psi_(r-1)
这样倒过来能够整除的关系
这样我们如果把这个 整个这个Psi它的对角元
整个颠倒一下顺序我们会发现
它也是具有这个Smith形的形式
那么从而就知道了什么呢
就知道我们这个D的不变多项式和Psi的不变多项式是一致的
那么N的不变多项式和这个E（的不变多项式）是一致的
那么恰好我们看到 就是D的所有的这个行列式的根
也就是让它行列式等于0的这些s
恰好就是让这些psi等于0的这些s
那我们让N(s)它的不变多项式等于0的根
就是让E的对角元等于0的根
也就是说N的不变多项式等于0的根
这些确定的s的位置就是我们这个G(s)的零点的位置
以及它的重数
那么这个D和Psi也是共同的都能够两者等价地
来确定这个G(s)的极点
这样的话我们就揭示出来一个非常重要的结论了
就是说之所以我们在多变量的复频域理论里边
把这个MFD作为我们基本的数学模型
那么它很重要的一点就是
它把这个分子分母分工非常明确
一个是分子是对应于零点的集合
那么分母这个矩阵只是和极点有关的
这就揭示出来这种模型的优势
同时也给我们将来去做设计和综合提供了一个依据
就是我们在提控制要求的时候
我们如果要求我们的系统是稳定的
那我们自然是要求我们这个系统它的所有的极点得是稳定的
那么这个极点的稳定性就反映到MFD上边
就变成了对这个分母矩阵的一个要求
就是这个分母矩阵的行列式也就是我们这儿说的Delta(G(s))
它本身得是个稳定的多项式
这样的话我们的理论的体系我们就看出来一个框架
就是我们通过讨论这个传递函数矩阵的结构性质
重要的这个零极点的性质我们看到了MFD所发挥的重要作用
好我们这个点就讲到这儿
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