当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三） > 视频
我们接下来给大家介绍另外一个应用
就是化状态空间描述为约当标准型
其实不光是约当标准型
一般来说有些标准型
都是通过坐标变换来转换的
我现在就作为例子的话来讨论一下
怎么把状态空间描述化成约当标准型
分成两种情况
根据矩阵A它的特征值是否都相同
还是它有重根
我们把这个问题分成两个不同层面的问题来讨论
第一个层面是对角标准型
这个是所有的A的特征值都不相同的情况
A有重根我们就化成一般的约当标准型
我们先看来这个最简单的
A的特征值两两都不一样
我们要目标是通过坐标变换
把它画成对角线规范型
所谓对角线规范型
就是我们的AQ塔不是随便的
我们这个AQ塔具有一个对角线的形式
除了对角线上面不等于零 其他全是零
对角线恰好是我们N个特征值λ1到λn
当然我们这假设这些都不一样
这个怎么做呢
这个具体的做法当然问题就集中在
我们怎么选这个T对吧
T决定我们变出什么东西来
现在我们这个T就要特别的来选取
首先 我们这个地方就要用到特征向量了
我们说PI是A的属于λi的一个特征向量
这个肯定是有的
因为每个特征值都至少有一个特征向量
这是可以证明的
我们把这个特征向量写成分量的形式给它写出来
PI就把它的N维的坐标给它写出来
由于λ1到λn两两都不一样
这里面很容易去证明
我们在这不证明
这是一个线性代数的结论
就是对于不同的特征值
它的特征向量一定是线性无关的
这个也很容易用反证法来证明
我们在这就用这个结论
由这个特征向量
我们就构成一个变换阵T
就把我们属于每个特征值的特征向量
每个特征值求一个特征向量
把他们作为列向量合在一起
变成一个大的矩阵
这样我们得到的恰好是个n*n的矩阵
我们在根据特征向量定义的关系式
肯定是满足API等于λIPI
这是当时你说它特征向量时 就得这么满足的
这个时候我们就可以验证什么呢
A乘以T等于什么东西
A乘以T就是A乘以P1直到PN
这个分块矩阵
也等于把这个A 乘到每一个列上去
变成A乘以P1这是第一列
A乘P2第二列 一直到A乘PN第N列
但是我们知道特征向量和一般向量不一样
A乘到这个特征向量上去只是改变它的长度
长度的变化等于这个特征值
所以其实乘完的结果
就是λ1乘以P1λ2乘P2一直到λN乘PN
这个东西是什么呢
这个东西又可以写成一个矩阵相乘的形式
恰好可以写乘P1 P2 一直到PN这个矩阵
乘上一个对角型的矩阵
就是λ1到λN作为对角线元素的
这样一个对角线矩阵
我们把这个矩阵放到这
然后把这个P1到PN这个矩阵
我们再写回到当初给它变换阵总体的匿名叫T
这样我们就证明了
AT等于T乘以λI为对角的这个矩阵
那么我们再把这个T给它求个逆
变到等式A的左边去
那就变成了T逆乘以A乘以T等于我们这个对角阵
这不就是说我们的AQ塔已经变成了对角型的形式了吗
所以我们很显然的
我们这样来选取这个变换阵就是恰到好处
可以让我们的A凸现出来这些特征值都是什么
直接地列在我们这个对角线上
这就叫对角线规范型
那么相应的我们肯定还要对它的
B矩阵C矩阵D矩阵 做同样的坐标变换
这样的话我们实际上是可以得到我们要求的形式
这是我们讨论的比较简单的对角化的
通过坐标变换怎么对角化
这样的一个结论
-线性系统理论的一个有趣应用
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