当前课程知识点：线性系统理论 > 第七周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（二） > LST4-6-3 分离性原理（三） > 视频
同学们好
这节课我们来介绍一个综合的例子
就是我们基于状态观测器的状态反馈系统的一个例子
假设现在我们有这样一个四阶的系统
是有一个输入一个输出的
单输入单输出系统
我们现在希望 这个系统的状态设计
这样一个系统的综合的反馈控制律
和一个状态观测器
使得这个系统的状态反馈律
把闭环极点配置到这样四个位置
lamda_1_star到lamda_4_star
其中这里包含两个负实数的极点 -1和-2
和一对共轭的虚根
同样 如果 因为我们知道
我们希望利用输出反馈而不是全状态反馈
我们希望设计一个状态观测器
那么这个状态观测器能够观测到
能够观测我们这个系统的真实状态
而且这个观测器的极点能够配置到这个值
就是lamda_o1到lamda_o4 这几个极点的位置
使得它具有我们足够满意的收敛性能
那这是我们一个基本的目标
那我们前边介绍
我们在基于状态观测器的状态反馈综合
有一个分离性的设计原理
就是状态反馈律和观测器的设计
实际上是可以独立进行的
所以我们在解决这个问题的时候
实际上我们就可以把它
按照我们前面学过的观测器设计
和状态反馈设计分别去求解就可以了
首先我们来看一下状态反馈律的综合
首先我们根据期望的极点组
可以得到闭环系统的期望特征多项式
这个特征多项式是由我们期望闭环系统的极点
lamda_1_star到lamda_4_star的取值来决定的
我们可以计算出来 它的系数分别是5 10 (10) 14
它的闭环特征多项式
是等于s^4 + 5s^3 + 10s^2 + 10s + 4
那我们前边学过状态反馈律的综合的算法
实际上是基于能控规范型的
实际上我们还有一种比较直接的方法
这种方法在我们的系统的维数不是太高的时候
实际上也是一种比较方便的一种办法
就是直接求解的办法
就是我们 假如说
因为我们现在是一个单输入系统
所以我们这个反馈矩阵 它实际上是一个行向量
假如说我们这个行向量它的各个元素是k1 k2 k3 k4
那实际上我们就可以把这个k矩阵的这个表达式
直接代到我们这个状态反馈律它所需要满足的方程里面
也就是说 这个时候 这个闭环系统的特征多项式
也就是sI - A + bk
那这个特征多项式 等于(sI - A + bk)的行列式
那这个行列式 应该等于上面我们求到的
求出来的一个alpha(s)这个特征多项式
所以我们就可以利用这个关系 去列这样一个方程
我们把这个k（向量）的k1 k2 k3 k4
代到这个行列式这个方程里面
我们很容易就可以求出 最后得到的这个多项式的系数
它分别是k1 k2 k3 k4的一个函数
所以我们就可以把这个多项式
和上面这个alpha(s)这个多项式 它的系数去逐一比较
这样我们就可以列出一堆
列出四个关于k1 k2 k3 k4的线性方程
从这些线性方程里面 我们很容易就可以把k解出来
我们可以解得 k的各个反馈系数就是 2 5 16 10
这样我们就可以解决这个状态反馈的综合
那另外一部分 作为这个问题的另外一部分
就是状态观测器的综合
那同样的道理 我们也可以 首先通过期望的极点组
我们期望把这个状态观测器的极点配置到
lamda_o1到lamda_o4这几个极点上
所以它对应的这样一个特征多项式
我们可以计算出来就是这个样子
那么还是同样一个道理 我们用直接的办法去设计
就是我假设这个反馈系数是l
这时候这个l是个列向量
假设我们这个列向量的各个系数是l1到l4
那这个时候闭环系统的特征多项式是什么呢
就是(sI - A + lC)
这是我们在前面
在研究状态观测器时得到的一个基本结论
就是说我在引入这样一个状态观测器的结构以后
最后的观测误差它的系数矩阵
自然就是一个(A - lC)的形式
所以(A - lC)的特征多项式
就应该等于我们上面求出来的alpha(s)
这个期望的特征多项式
所以根据这个关系
我们就可以列写出这样一个关于l的 这样一组线性方程
就通过比较系数
那这样我们就可以相应地求出来
l的系数分别是11 53 -72.5和-145
它是这样一个列向量
所以说我们对于这样一个基于状态观测器的
反馈综合问题的时候
我们就可以把它分解成两个标准的问题
分别地利用我们学过的知识来进行综合
最后把结果综合到一起就可以了
好 我们这节课的内容就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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