当前课程知识点：线性系统理论 > 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构 > LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值 > 视频
前面我们给大家介绍过
传递函数零极点是通过Smith-McMillan形来定义的
大家自然有疑问
就是说那Smith-McMillan形是通过单模变换
通过行列初等变换
比较复杂的步骤可能变换出来一个给定的标准的形式
然后这些?=0的根和ψ=0的根
分别去确定零极点以及它的重数
这个看起来是相当麻烦
那我们前面也提到了
如果我们引入结构指数和结构矩阵
表面上我们看起来可以把问题进行转化
转化成我们分别依次确定这些结构指数
那么来构造这个结构矩阵
然后针对每一个ξ的位置
我们来逐一的来检查它零极点的分布情况
这个工作呐
如果仅仅做到这一步 实际上还是没有解决任何问题
下面我们给大家介绍
就是我们确定结构指数 怎么样能够绕过这个初等变换来做
那这就是我们在这给大家介绍的
这个传递函数矩阵的评价值这个概念
那么我们首先定义有理分式的评价值
对于一个给定的有理分式g(s)
这个g(s)在某一个我们感兴趣的位置ξ的地方评价值
我们把它记做v_ξ(g)
然后我把它定义成在这个g(s)当中
这个s-ξ这个因子 它出现的次数
那么同样的这个次数怎么个出现法呐
就是出现在它的分子是多少次的
我们就把它记做正的
如果它根本没有出现这个因子 我们就记做0
如果它出现了 但是出现在它的分母上
我们就记做一个负的值
这个道理跟前面说结构指数
当时讨论的现象是类似的
还有我们这个评价值还有一个好处
就是对于s=无穷 就是ξ等于无穷 也可以定义评价值
这个评价值定义成什么呐
就是说我们对于一个g(s)来说
它在这个无穷远处评价值
我们把它定义成了就是它的分母的次数减去分子的次数
我们前面给大家简单的提到
无穷远处的零点到底有几重呐 对于一个有理分式而言
那就是它的极点的总数减去零点的总数
差多少就是多少
那么我们看到 这个极点的总数就是分母的次数
零点的总数就是它的分子的次数
所以分母减分子这个次数差就是它在无穷远处的评价值
那么有了对一个有理分式的评价值的定义
我们就可以对传递函数矩阵而言
它的评价值到底怎么来定义
我们对一个G(s)把它的有限零极点的集合把它称作S_pz
p代表极点 z代表零点 就是可能的零极点位置
对于一个属于零极点位置的这样一个ξ而言
我们就定义属于ξ的G的第i个评价值
i是从1到r也就是说跟G的秩有关系
那么我们说这个i阶的评价值是谁呢
就是Vξ的i阶(g)它等于
是把这个G(s)的个个i阶子式
一个有理分式矩阵我们可以把它所有的i阶子式取出来
然后对每个i阶子式
这不都是一个有理分式么
这些有理分式依次的在ξ的位置上求它的评价值
这就是Vξ(g)的i阶子式
那么把这些所有的同阶的i阶子式
挨个在ξ处这个评价值求出来以后
这一堆的整数取一个最小值
称为是整个这个G的第i个评价值
这样一个结果呢我们说你给定一个有理分式矩阵以后
你直接就可以做
因为它的各阶子式根据G(s)都是可以求出来的的
这一步根本就不需要去做任何的初等变换
也不需要去做转换就是可以直接去求
那么我们关键的一步就是说这些评价值
对于我们区确定零极点的重数
去确定史密斯麦克米伦形到底有什么用
在这个地方给出的评价值
和结构指数之间的一个定量的关系
那么这个评价值的一个重要作用是什么呢
就是我们给定了传递函数矩阵G(s)以后
它的结构指数是可以用评价值给确定下来的
你看我们在这给它的关系
就是我们目标是要确定sigma_1到sigma_r
在ξ地方结构指数到底是多少
而这件事是可以通过v来给出来这些评价值给的
我们说σ1(ξ)=vξ1阶的(G)
就是说G在ξ位置上的1阶评价值就直接给出来σ1(ξ)
那么σ2(ξ)是谁呢
σ2(ξ)是由G在ξ处的2阶评价值Vξ2(G)减去Vξ1(G)
就是我们前面求出来的1阶评价值和2阶评价值之差
用2阶评价值减去1阶评价值给出来的是第2个结构指数
那么r个结构指数是谁呢
就是我们的第r阶的评价值减去r-1阶的评价值
它们的差就是恰好给出来这个σr(ξ)
这样我们就清楚了我们这些评价值的计算
全都是直接根据G(s)的各阶子式
在包含s-xi的次数来定的
所以它可以直接根据G的参数确定下来
不需要做变换就可以把这些结构指数确定下来
从理论上说我们可以去证明
但这个基本的思路是比较容易理解的
这个基本思路就体现在哪呢
就是我们看看对比一下结构指数和评价值之间的关系
会发现评价值是把各阶子式取出来
然后有一个简单的情况这个是非常容易证明的
那么就是当我们面对这个G
本身就是史密斯麦克米伦形的时候
那么很容易就能把这件事情说清楚
那么你说它不是史密斯麦克米伦形怎么办呢
这个实际上没有改变这个问题的本质
就是我们知道史密斯麦克米伦形和G(s)之间的差别
无非是初等变换的关系
而我们很容易证明的是初等变换是不改变评价值的
所以我们的评价值是直接对G来求
还是到了最后的史密斯麦克米伦形上去求
其实结果是一样的
所以这就说明评价值是史密斯麦克米伦形的不变量
就是在初等变换底下的一个不变量
那么这样的话就使得我们不需要去做初等变换
能够通过G来确定这些评价值
进而通过求差的形式把这些结构指数给它定下来
一旦你能够把这些结构指数定下来
那么原则上说就把结构矩阵
甚至进一步的史密斯麦克米伦形给构造出来
然后零极点也就全部确定下来了
这就是说非常重要的一个关系
那么在这我们要顺便提一下这个关系
刚才提到S_pz这个集合
其实对于s等于无穷远处这个特殊的位置
这个结构指数和评价值之间的关系同样也是成立的
这样的话我们就统一的可以用评价值
无论是在有限的位置还是在无穷远处的位置来统一的确定
传递函数矩阵的在有限和无限的零极点的分布
这个原则上就可以做了
那我们接下来给大家举一个例子
这个例子是一个G(s)
大家可以看到它是一个我们给出来的具体形式
是一个对角的形式
去验证一下的话你会发现
它还不是一个史密斯麦克米伦形尽管它是一个对角的形式
这个问题出在哪呢
我们看到对角元上两个分子的多项式它是不能够整除的
同样的第二个分母也不能整除第一个分母
所以从形式上看它虽然是一个对角形
但它不是史密斯麦克米伦形
那么如果我们真的要去确定它的零极点的话就有点麻烦了
就是说你还要把它的史密斯麦克米伦形化出来
同学们可以试一试你是不是可以很快化出来
但是我们现在的要点就是说
我本身给的不是史密斯麦克米伦形
但是我通过评价值再进而通过结构指数
我就能把它的史密斯麦克米伦形给它确定下来
那这怎么做呢
我们首先把它的各阶子式求出来
然后就很容易确定它的零极点的集合啦
那么零极点的集合就是0 -1 -2这三个可能的位置
然后呢我们再求一下它的秩r就确定下来了
这个是满秩的所以它是2
然后我们把它的两阶子式和一阶子式也列在这个地方了
那么接下来我们确定结构指数的顺序先要求评价值
我们在0 -1 -2这三个位置单独来计算一下评价值
那么就是v01(G) G在0这个位置上1阶的评价值
就是2个1阶子式 看看它包含S这个多项式的次数怎么样
我们看到第一个子式里面包含S次数是1
第二个子式里没有 所以是0
如果取小 它就是0
那我们看一下它2阶子式在0的位置
就是这个G在0的位置的2阶子式
实际上因为它只有一个2阶子式
那我们看到这个2阶子式求出来
也是看一下S在里面出现的次数 是正1次
所以我们知道什么呢
就是在0的位置 这两评价值一个是0 一个是1
这样我们就知道在0的位置的结构指数是什么呢
就是σ1(0)等于这个v0(1)
那么v0(1)就等于0 所以σ1(0)等于0
那么σ2(0) σ2(0)等于1
因为是用2阶评价值减1阶评价值
就是1减0等于1 这样我们就确定下来了
我们再换一个
我们就可以看出来v-1 在-1这个地方的评价值
我们分别求出来的是1阶评价值是1 2阶评价值是0
我们也可以确定出来结构指数
σ-1等于-1那么σ2 -1等于1
这样的话我们可以得到-1的地方它的这两个结构指数
然后我们以此类推 我们可以知道-2的地方怎么样
我可以顺便再看一下在无穷远处的评价值
无穷远处的评价值是什么情况呢
一阶子式在无穷远处的评价值就是分母次数减分子次数
很巧的是这两个分母次数减分子次数是一样的
所以无穷远处的一阶评价值两个零取小就是零
那么两阶子式求出来的结果分子分母也一样
所以两阶子式阶评价值也是零
这样我们求出来总的结构指数
实际上两个结构指数在无穷远处都是零
那就意味着什么
无穷远处结构指数等于零
意味着在无穷远处既没有零点也没有极点
那我们看到整个这个史密斯麦克米伦形
就可以根据我们说的有限处的零极点分布
通过结构指数给它构造出来
我们已经给它求出来了
比如说σ10等于0 σ20等于1
显然我们在这个ξ1 ξ2里面
ξ1里面是不包含S的 ξ2里面是包含S的
那我们再看一下S等于-1的位置
就是S在+1这一项在ξ和普赛里面出现的情况
我们知道ξ1 -1等于-1
那也就意味着普赛1里面会出现一个S+1的项
那么σ2 -1等于1 说明在ξ2里面会有一个S+1
那我们再看一下S+2的分布情况
S+2它的第一个结构指数等于-1
所以第一个普赛1里面也有一个S+2
然后在第2个里面不出现
所以我们就可以把这个史密斯麦克米伦形给它确定下来
那么也就是说ξ1它等于1 ξ2等于S
普赛1是S+1乘以S+2
普赛2是谁呢
普赛2我们看到在这里面是没有负的
所以普赛2就等于1
这样我们就通过这个例子给大家展示出来
怎么根据评价值可以把史密斯麦克米伦形确定
然后进而可以通过结构指数把所有的零极点
包括在无穷远处的零极点它的分布的重数
也都可以确定下来
那我们这个例子接下来要给大家展示的就是说
如果你把三个M(s)矩阵给它写出来的话
你进而可以看到整个这个最后给出的这个M的结果
我们分别看到是1 S这是M0
m-1是S+1分之1 然后s+1
m-2是s+2分之1 1
我们把它整个乘在一起
我们会看到史密斯麦克米伦形
就是diag(1/((s+1)(s+2)) s(s+1))这样一个形式
好
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