当前课程知识点：线性系统理论 > 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（二） > LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二） > 视频
在实现问题里面
我们实际已经谈到了
对于单变量怎么样从传递函数构造状态空间模型
这是很容易的
我们用能控或能观标准型就直接可以把参数对号入座
可以写进去
我们实际上没有讨论的一个问题就是多输入多输出的情况
我们怎么样给它构造状态空间模型出来
因为毕竟在实际系统当中
有很多情况下
也许系统输入不止一个
或者我们的输出不止一个
在这种情况下
我们怎么来进行能控能观性实现的构造
这个就是传递函数矩阵的实现问题
那我们也是把我们要实现的传递函数矩阵给它设出来
假定它是由（*）这个表达式给出的
传递函数矩阵等于R(s)/?(s)这个多项式
?(s)这个多项式类似于我们单变量的时候
也是一个分母多样式
它有一些系数
我们在这记作α
然后它的分子跟我们单变量情况有点不一样
单变量的时候分子只是个多样式
而是传递函数矩阵的时候
它为了能够把这个矩阵描述出来
我们要引出一些参数的矩阵和这个s的各个幂次
来表达整个分子的组成
也就是R(s)其实是一些多样式形式矩阵的求和
那么矩阵有一些参数矩阵是R_1 …R_L
那么有一些s的幂次在这个分子上
这是它给出来的传递函数矩阵的形式
应该说我们一般给出来一个有理分式矩阵
总可以通过求它的?(s)和R(s)这两部分
把它做这样的分解
最简单的就是对它进行通分
把各个分母的最小公倍式求出来以后
我们总能够把它提炼成这样一种表达形式
所以这是具有一般性的
那么一旦有了这样的形式以后
我们就先考虑它的一个能控性的实现
能控性实现怎么给呢
我们把它最后实现出来的结果是一个
L*r维的这样一个状态空间
这里面A是什么呢
A是一个分块形式的矩阵
它如果说这里面分块的对角元
比如说它上面的分块
这个1 2位置的分块
r阶的单位阵都改成1的话
实际上可以退化到我们熟悉的
单变量能控标准型里面A矩阵的形式
但是现在不同的是
这些分母的系数都要乘上这个扩充的单位阵
使它成为分块的形式
然后B矩阵不是001是00I
I是r*r分块
那么这样的话就是告诉我们
这样一种实现方式
那么底下C矩阵
同样也是类似于前面
在做实现单变量的能控标准型里
就是分子的那些系数矩阵
R矩阵放到C的里面组成分块矩阵
这样的话我们就得到完整的所谓能控性的实现
当然我们需要做一些验证
为什么这样实现出来结果
是能够得到当初给定的传递函数矩阵
因为毕竟你构造的这个实现一定要对应于原来的矩阵
才能称为它的实现
我们现在把能控性实现记作（**）
我们下面做一些验证
我们讨论能控性的实现需要去验证
（**）它本身应该能够
导出的传递函数矩阵和给定的传递函数矩阵是一致的
下面我们给一个证明 其实也是一个验证过程
我们这么构造出的能控性的实现 传递函数是谁
那我们首先
分析一下输入到状态的传递关系
这个传递关系是由(sI-A)^(-1)B给出的
(sI-A)^(-1)B
我们把它这个乘出来的结果记为V(s)矩阵
然后我们看一下(***)
(sI-A)^(-1)B这个式子乘出来的结果
如果两边都用(sI-A)乘过去的话
它乘出的结果就是这些V
这些中间变量实际上满足的是(sI-A)V(s)=B
或者说sV(s)=AV(s)+B
我们把这样的(**)式子的结构
和(***)假定的符号约定
代入sV(s)=AV(s)+B里面去以后
我们可以看到实际上我们整个式子
它满足的是s乘以V向量
等于A乘V向量再加B向量
但是我们在这已经把A结构写进去了
然后我们可以由上面这个式子
按照分块相等的形式左右依次比较
比出来V2(s)=sV1(s)
V3(s)=sV2(s)=s2V1(s)
依次我们可以验证
最后验证sVL(s)等于….+Ir
我们把这两个式子进行合并
就可以整理出一个表达式
你看到上面表达式是把V的各个分量分块分量
都归结为V1这个分量
所以我们直接得出结果就是可以验证
(s^l+α_1 s^(l-1)...+α_l)V_1 (s)=?(s)V_1 (s)=I_r
?(s)就是分母多项式 乘V(s)的结果就是单位阵
那么就是跟我们上面推出来的结果是一致的
sVL满足的这个等式是一致的
也就是说我们知道
V1(s)实际上它的表达式其实就是单位阵乘1/?(s)
然后进而根据我们刚推出来的V2(s)=sV1(s)的话
其他的幂次 我们可以依次代入
我们就知道V_i (s)=s^(i-1)/?(s) I_r
于是我们就可以得到这个系统
就是把V得到以后
再乘上C
我们就可以得出来C〖(sI-A)〗^(-1) B就是V
我们把V的这些式子再跟C直接乘起来
就可以验证
还原到我们当初给的W(s)这个矩阵组合的表达式
就是1/?(s)这些R乘以s的各个幂次
这样一个结果
组合出来
这样就验证整个求出来的传递函数矩阵
它是W(s)
这个式子就说明了什么呢
我们按照（**）的方法来构造能控性的实现
它是W(s)的一个实现
很容易看到
如果我们的输入和输出的维数
这个r ,l是输入的维数
都是1的话
我们整个的能控标准型的形式
跟我们现在构造的矩阵形式的能控标准型是完全一致的
其次我们再来看一下
我们构造出来的这个能控性的实现它到底能不能控
因为我们只是把它称为能控
我们可以看一下这个矩阵
去写它的能控性矩阵的话
我们发现这个能控性矩阵写出来就是[B AB……]
n是整个系统的维数
它是r*l维的
那么可以写出来它斜的方块对角形式
斜的对角线上全是单位阵
然后底下X代表跟我们分析问题无关的一些元素
重点是它的对角线以上的部分都是0
所以我们知道整个这个矩阵它是一个非奇异的矩阵
它的秩是r*l的这样一个形式
我们知道这个系统是完全能控的
从而我们知道这是一个能控性的实现
对应于前边我们最早给出的传递函数矩阵
我们 可以构造能观测性的实现
这个也是仿照能控性实现的这种格式
也是构造分块的构造方法
这里面把原来1的位置全部撑满成m维单位阵的位置
然后这些系数当然还是分母多项式的系数
然后它的输入矩阵
它的分子上的参数矩阵R代到输入矩阵里面
作为分块矩阵来构造
仿照能控性的讨论
我们可以证明它的传递函数也是W(s)
同时它的整体来说
能观性也是可以保证的
这就是这部分内容
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