当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三） > 视频
下边我们介绍更一般的情况
更一般的情况呢就是
带有输入作用函数
或者叫强制项或者叫输入函数
有各阶导数项的这种情况
我们的高阶微分方程怎么来做
我们实际上可以通过一个例子看出思路来
我们这里边给出一个三阶系统的例子
他的微分方程是什么呢
他的微分方程是y三点
加上a1 y两点加上a2 y 一点加上a3y等于
大家注意啊
这里边出现了B的导数
所以是b1 u两点加上b2u 一点加上b3u
这个形式就比我们刚才看到的
这种只有一个输入u
没有他的各阶导数
要来的更一般也更复杂一些
但是好在我们可以利用我们前边
实现或者说构造状态空间模型的方法
怎么利用呢
我把这个和u有关的项笼统的看做一个大的输入
看做是u'或者u~
我就认为这块呢
如果说把他笼统的看做某种输入
那么我们可以认为还是
在形式上类似与我们前边讨论的
那种简单情况
这种情况对应一个什么样的思路呢
就是说我们这个状态方程
我就不改了
我就仍然用刚才建立的状态方程
对于我们这个具体的例子来说
就是x1一点x2一点x3一点
合起来的x的导数
他等于A这个矩阵
乘以x1x2x3加上001u
这个A呢就是上边是一个3-1
就是二阶的单位阵
底下是这些系数
就是y前面这些系数
-A3-A2-A1
那么这样得出来的结果呢
我们可以知道
它满足的这个微分方程啊
实际上就是以x1作为输出的这个量
它满足的方程显然是x1的三点
加上a1 x1的两点一直加到a3乘以x1等于u
这是没问题
这从u到x就是这个关系
但是问题就是我现在关心的是这个y
那么我们这个y和我这个x1的
原来的例子是相等的
现在它不相等的了
不相等变成了什么呢
不相等我们可以利用这个系统的线性性质
可以证明的是
我这个y其实不是别的
他正好是我的b1乘以x1的两点加上b2x1的一点
加上b3乘以x1
也就是b1x3加上b2x2加上b3x1
你说这个道理在哪
这个道理就恰恰体现在
线性系统和非线性系统的一个本质的区别
线性系统呢就是你的输入增大多少倍
当然这个状态空间
我们这个状态也看做某种输入
就是输入和状态同时增大多少倍
那么输出也跟着扩大多少倍
然后如果你是在两个输入底下 包括状态
那么分别知道它的输出了
然后你两个东西加一块
得到的这个输出呢
你是可以对线性系统做一个预测
这个输出就是
原来这两个输入信号分别作用的输出相加的结果
而这种叠加性在我们这个实现的问题上呢
在这有所体现 就体现在
我可以先把x所满足的方程得出来状态方程
然后我要想组合新的y出来
我就可以把u的各阶导数
直接作用到x1上去
那么作用到x1上去就得到了
我原来u作用底下的y进行组合
现在就变成了
y等于b1x3加上b2x2加上b3x1
这样的话我们就了解了
就是说其实我们是利用一个线性性质
能够给出来带有导数项
输入导数项的这样的高阶微分方程怎么实现
那我们换成向量形式当然也是
这个A矩阵的形式一样
b向量的形式一样
无非是c这个地方不再是100了
就变成了bnbn-1一直到b1这样一个形式
当然这里边呢
我们可能还要考虑更一般的情况
这就涉及到了
我们这个u他允许求到几阶导数
我们说m如果不超过n的时候都可以去实现
那么m恰好等于n的时候呢
这时候我们在这列出来的这个形式
这个形式里头我们重点关心c这个向量
它的这个形式是bn-an乘以b0
bn-1减去an-1乘以b0
b1减去a1乘以b0
这是它的系数
如果这个m是严格的小于n的
那这些什么减anb0这些项都不用出现了
就直接出来的都是
关于b的这些系数直接放在这个地方
就可以了
那么我们把这种形式构造出来的
状态空间模型呢给它起个名字
叫做能控标准1型 也称为控制器规范型
之所以这么叫有两个原因
一个呢是它的形式非常特殊
这个形式特殊在哪呢
它的输入向量是01的形式
然后呢A矩阵是把这个
y这端的组合系数直接拉进来
上边是一个n-1阶的单位阵
而c呢是一个一般形式的
而这个c呢是跟我们说
u前面的这个导数的系数是有关系的
那么这是一个原因
这个我们后边可以从理论上证明
就是说你也可以直接根据能控型的定义
来验证他就是能控的
这是它起名的一个原因
另外还一个原因呢就是因为
我们这只是一个选状态变量的一个方法
我们后边讲到坐标变换的时候 你可以看到
其实对应于同一个输入输出关系
你还可以构造出不同的状态空间描述
所以我们会给它起一个特殊的名字
下边呢我们也有一个具体的例子
这个例子比我们刚才前面举到的例子稍微复杂一点
它呢对u呢出现了导数项
我们现在这个例子里边呢
u有两阶导数8u两点加上17u一点
加上8u作为输入
然后y三点这边的系数呢 也都是有一些各个系数
那么我们就按照我们前边讲的的框架代入
我们可以把我们这些方程的系数列出来
这个Ai和bj我们分别列出来
这个a1等于6 a2等于11 a3等于6
b1等于8 b2等于17 b3等于8
这样我们按照我们实现的框架
我们把6 11和6分别取负号
放到A的最底下一行来
然后b的这个输入呢是001
输出呢是8 17 8正好对应了我们的
u这边的各阶导数前面的系数
这样我们就非常方便的
把一个高阶的微分方程
给它导出了一个状态空间描述
用的是我们的能控标准型
大家可以看到能控标准型
在构造状态空间描述上还是非常方便的
我也希望大家能够对它能有深刻的印象
就是至少你要掌握这样一个方法
对于我们以后的学习也非常有利
在这个里头呢我刚才其实已经提到了
就是我们选择状态变量的方法不是唯一的
有各种选择的方法
大家千万不要认为你只有这一种办法
但是你要知道起码有这么一种办法
到此为止呢我们就介绍了
这个输入输出描述
黑箱模型怎么导出状态模型来
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