当前课程知识点：线性系统理论 > 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述 > LST7-3-1 系统矩阵 > 视频
我们在这里给大家介绍一下 PMD所对应的系统矩阵
系统矩阵这个词大家已经听了
就是在我们讨论多项式矩阵的传输零点的时候给大家讲过
那我们来看一下 详细的看一下系统矩阵
给定一个PMD多项式矩阵组P Q R W
这四个参数矩阵都已知的情况下
我们就定义这个PMD系统矩阵
是如下这四个矩阵分块组合的形式
就是上面是P和Q 下面是-R和W
组成这样一个分块矩阵
当然我们要想能够组成这样的分块矩阵
我们一定对这四个矩阵的维数是有要求的
就是P, Q的行数相同
那么都是我们通常称为部分变量的维数 我们把选做m
一般是小于等于这个系统真实状态数n的
那么P和R的列数相同都是m
就是这P 是个方阵 m维的
然后我们的Q它有多少列呢
Q的列数实际上是输入的维数
R的行数也是已知的 是输出的维数 是个Q
W正好是一个q行p列的这样一个矩阵
那么我们这样定义了系统矩阵以后
可以看出来 其实你给定系统矩阵
也同时就把这四个矩阵定义出来
所以说系统矩阵也是给出PMD的一种途径
但是跟前面这个四元组PQWR 这四个分块多项式矩阵
这种描述形式不一样的地方是什么呢
就是说系统矩阵一旦把它写成这种分块的形式
我们就有可能采用这个代数的方法
能够揭示不同的PMD之间的关系
就是一旦把它写成矩阵的形式
你就可以通过矩阵之间的变换
能够把不同的PMD或者不同系统模型之间的关系
能够给它表达出来 用代数的形式
这是引入系统矩阵的好处
就像我们列写系统状态方程的时候
我们要把它的状态矩阵 输入矩阵
然后输出矩阵和传输矩阵
都分别变成一个向量矩阵的形式的时候
那么就可以系统的对这个参数
或者对这些方程做一些理论的分析
所以我们说系统矩阵表述形式的引入
它主要的目的还是为了能够进一步使用代数的方法
形式化的来讨论不同的PMD之间的关系
那我们引入这个系统矩阵以后
就可以统一的来把我们的这个
广义状态方程和广义输出方程写成一个矩阵向量的形式
那么在这里面大家可以看到
我们在这列出来了
就是它的输出是一个增广的输出向量是0 –y(s)
然后我们的系统矩阵P Q -R W
乘上一个广义状态向量 广义输入是kxi -u
那么这样大家可以验证
按照分块矩阵分别相等的形式我们知道
上面的P Q乘上kxi -u
代表了我们原来的广义状态的方程
然后–y(s)等于-R W乘上kxi -u
这就是我们原来的输出方程
通过这样一个紧凑的形式
我们可以考虑 就是考察
当我们选择不同的部分状态变量之间的时候
我们对应的模型会发生什么样的变化
同时我们也可以用这种方式去建立起来各种组合系统
它的这个PMD广义微分形式的描述
我们从系统矩阵导出这个传递函数矩阵的方法
实际是按照系统矩阵顺时针的旋转方向
从R出发然后求P^(-1)再乘以Q再叫上W
这样一个顺时针的形式
就可以得到我们要的传递函数矩阵
那我们对于这个PMD一般形式我们知道
四个矩阵在分块当中的位置
那么我们再来看一下
对于我们以前熟悉的状态空间模型和MFD
它所对应的系统矩阵又是一种什么形式
我们先从状态空间模型
SI-A B C D这个PMD模型出发
我们来看相应的系统矩阵
实际上我们还是按照P Q -R W形式排列的话
那么我们现在排出来的就是SI-A B -C D
这样的话就很紧凑的用分块的形式
把我们状态模型给定义出来
那么对于我们的MFD 比如说右MFD
这样一个PMD
它所对应的系统矩阵就是D N -I 0
那么左MFD{A I B 0} 这样一个PMD呢
它的系统矩阵是A I -B 0 这样一个描述形式
这样我们就看到了
实际上这个系统矩阵适合一般的PMD
所以它也适合于我们的状态空间模型
也适合于MFD的形式
大家有一个统一的分块描述形式
那我们接着再讨论一下 就是说系统矩阵的增广
所谓的增广的系统矩阵
我们如果给另一个PMD
它这个P Q -R W形式给定以后
我们来定义一种增广形式的系统矩阵
在原来的基础之上 我们把它增广形式定义为
下面这个添加了部分分块的一个更大的一个系统矩阵
这个系统矩阵的形式
是它的分块的一一位置上是一个beta维的单位阵
然后呢第一行的两个分块都是零
第一列的两个分块也都是零
然后在保留的这部分是跟原来一样的
PMD的分块P Q -R W
这样就构成六个分块的信的系统矩阵
那么这个新的系统矩阵P呢
实际上是一个对角形的P矩阵 它是I 0 0 P这个形式
它的Q也是一个分块的增广的Q矩阵 是0 Q这个分块矩阵
然后0 -R是负的新的R 大的分块矩阵
然后W保持不变
那么这个beta到底是多少
实际上是要根据我们需要的情况可以是任意的正整数
这种形式的系统矩阵
都称为是原来这个P Q -R W系统矩阵的增广形式
都称为它的增广系统矩阵
那么这个增广系统矩阵的目的是什么呢
实际上是为了让我们把
这个不同维数的模型之间能够相互的比较
能够找到它们之间的联系
所以它要采用这样一种增广
那么增广很显然它的目的是为了
让我们通过矩阵的形式运算的时候更加方便
但是它肯定有个前提
就是说你的增广本身不应该改变原来系统的性质
所以我们看一下 简单的做一分析
我们看一看这个增广系统矩阵 它有那些性质
应该说这些性质都是为了保证
就是说我们对它的增广仅仅是形式上的一种扩充
而不至于影响系统本身的主要性质
那么看一下第一条
就是增广前后的系统矩阵
它所对应的传递函数矩阵是相同的
也就是说如果原来的P Q -R W这个PMD
它的传递函数矩阵是G的话
那么我们新的增广以后的
添加了I_beta对角线上的一个系统矩阵
P也扩充了 Q和R也扩充了 W不变
那么我们通过简单地推算可以知道
分块矩阵的运算可以知道什么呢
就是增广以后的PMD
它的传递函数矩阵跟原来是一致的
这是一条
第二条呢 就是增广前后PMD
它的不可简约性是相同的
我们原来定义过什么叫不可简约的PMD
也就是P Q 和P R分别是互质的
那么若增广前是不可简约的 也就是P Q是互质的
那我们看增广以后
增广以后实际上比较I_beta P和 0 Q
这个大P Q 它们两个的互质性
那么我们通过互质性的判据 比如说最简单的秩判据
我们发现I_beta 0 Q互质的话
实际上指的是对于任意s来说
这样两个矩阵它的行总是满秩的
那么我们发现I_beta 由于构成对角形的分块矩阵
实际上到底是不是大的P和Q互质
完全取决于原来这个小的P和Q
它们是不是对于任意s但是行满秩的
也就是说秩都等于m 是P的维数
那么我们可以很简单看出来
这一致性不会因为增广而改变的
那么第三条呢 就是增广前后的解耦零点是相同的
解耦零点当然输入零点 输出零点
当然都指的是PQ和P R之间最大公因子的行列式的根
那么我们可以发现 通过添加I_beta
它也不会影响最大公因子
实际上最大公因子的不变多项式或者行列式
增广前后是一样的
所以这些解耦零点不会因为你增广而增加或者减少
那么增广前后传输的零极点也不会改变
我们说传递函数都一样
那么传输零极点也不会改变
那么更直接的说 如果原来给的是不可简约的
它因为增广不改变这个不可简约性
所以我们现在看到 这个添加了I_beta以后
它的传输极点不是P矩阵的行列式的根
那我们现在I_beta和P求行列式
实际上跟P直接求行列式得出的行列式是一样的
都是P的行列式
那么它的根当然是一样的
那我们再看这个传输的零点
传输的零点实际上就是让这个系统矩阵降秩的s
或者说是这个多项式矩阵
它的smith型里面不变多项式的根
那这些Smith型我们添加一个单位阵到对角线上
不会改变这些不变多项式
就是说这些不变多项式
除了增加一些平凡的不变多项式1外
没有增加新的其它的不同的因子
所以说传输零点不改变
这样的话我们发现
我们去做这个系统矩阵的增广只是形式上的变化
不会给系统的描述带来任何本质的改变
就是它的主要结构性质都是一致的
这样的话我们就为下面我们进一步的讨论
不同的PMD之间的关系奠定了基础
好 这一节就到这
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