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那么大家肯定有个疑问了
就是一般的方框图它有的模块挺复杂的
我怎么给它转换成规范方框图呢
说白了就是每个子系统
我怎么能够把它适当的简化出来
变成了一些不是放大倍数
就是惯性环节的 这样一个转换过程呢
事实上这个问题研究也很多
人们也积累了很多的经验
大的我们可以把转换思路分成三类
一类叫基于串并联分解的转换思路
一类叫基于部分分式分解的转换思路
还有一类是基于积分器串
加上常值反馈的转换思路
这三类转换思路在很多教材中
特别是在自控原理的教材当中
都有很多介绍
我们这个地方就不专门展开了
我们在这个地方要用一个
基于串并联分解的例子跟大家说明一下
就是说这种转换途径其实还是挺多的
当然这个转换的方法各有优缺点
我们下面就来具体的通过一个例子
给大家展示一下
方框图怎样转换成状态空间表达式
这是我们整个里面的第二个小点
有两个小点 这是第二个小点
我们通过一个例子来说明
方框图导出状态空间描述的步骤
刚才讲的先从一般到规范
再从规范到状态变量选取
然后建立状态空间描述
下面我们用子系统
或者叫模块的串并联分解的方法
来导出规范方框图
从而建立状态空间表达式
这个地方我们给出图1(a)的第一个展示
是由两个子系统经过串联
然后通过单位负反馈构成的闭环系统
如果你熟悉经典的控制理论
你会发现 这其实是很典型的控制系统的框架
前面这个s加p1分之s加z1
可以看作是我们的一个搅动装置
而后面是一个二阶的被控对象
那么这样一个系统
我们假设这里面出现的参数
除了x之外其他都是给定的常数
y是系统的输出 u是系统的输入
我们的目标是怎样为这样一个系统建立状态空间描述
我们第一步
大家观察一下
我们这个系统是不是一个规范的方框图呢
如果你看一下 你会发现这两个都不是
第一个问题出在哪儿
是它的分子上面还有s加z1
这个不是
另外我们看下第二个
第二个是分母上两个s的多项式相乘
不是一个一阶的惯性环节
不是s加a分之k的形式
所以我们需要进行转化
在这里我们通过b这张图给大家展示出来的
就是我怎样进行规范化
这个规范化以后通过b这一步大家看到
我怎样试图通过每个框里的变化来进行
我对第一个框做了什么
我把第一个框等价变成了1+s+p1分之z1-p1
你可以验算一下
这个算出来的结果仍然是s加p1分之s减z1
但是它变成了两个传递函数之和的形式
其中这个1就是我们说的比例系数的类型
s+p1分之z1-p1就是我们说的s加a分之k的形式
我们再看看第二个框
第二个框我现在把它拆成了两部分乘积
s加p1分之1 s加p3分之k
这两个分别都是s加a分之k的形式
所以你可以看到
我们现在通过这样一个转换
到b这个图上来了以后
我们已经能够至少在每个框里看出来
每个框是由要么加要么乘的形式
得到了我们最基本的最简化的要求的规范模块
比例也好 一阶惯性环节也好
这是我们做的第一步
第一步做了每个模块的分解
第二步是在c这张图片上展示了
具体怎么把模块方框图进行变化
刚才是模块内部进行变化
方框图变化就是看到加的地方就用并联关系代替
看到乘的地方就用串联关系代替
这个当然就用到了我们刚才提到的
传递函数的代数运算
传递函数的代数运算怎么和它的连接关系之间进行转换
所以我们把第一个大框拆成了两个框并联
把第二个大框拆成了两个框串联
这样我们整个系统
现在到c这步以后
已经变成了一个所谓的规范的方框图
这就完成了转换规范方框图这一步
然后我们接下来要做的是
在方框图上选择合适的状态变量
这里有个选择的原则
就是我们对每一个惯性环节的输出
分别分配一个状态变量
那么对于一个比例系数
我们就什么也不做
所以这里面大家数一下
有几个惯性环节
在c图里我们实际上数一数
其实是有三个一阶惯性环节
我们把它的输出分别命名为x1 x2 x3
这样我们就建立起来了状态变量组
状态变量的向量x1 x2 x3
接下来我们的任务就是
根据系统结构 输入输出和状态之间的连接关系
串并联 信号之间的叠加 还有分支的关系
进一步列写状态方程和输出方程
我们先看输出方程比较简单
输出方程就是最后一个惯性环节x加p3分之k
它的输出x1就是整个系统输出
所以这里的输出方式很简单
就是y=x1
那么我们接下来关于状态方程
其实就是要找出来x1一点 x2一点和x3一点
到底怎么依赖于x1 x2 x3和u的线性组合
我们看x1一点
x1选在什么地方呢
选在最靠右的位置
那么它的输入端是什么
它的输入端恰恰是x2
所以其实我们前面讲过
对于一个一阶惯性环节来说
它可以列一个状态方程
大家如果有印象的话
这个s加a分之k的状态方程是x一点等于-ax加ku
这个u是什么 是这个模块的输入
而我们这的模块的输入x2
所以我们在这有一个k乘以x2
k乘以x2加上-a
现在这个a是谁呢 是p3 所以是-p3 然后是x1
所以我第一个方程
实际上是根据第一个惯性环节的输入输出关系
以及它的状态空间描述给出来
所以是x1一点等于-p3 就是那个a
x1加ku就是x2
类似的我们可以得到
x2一点等于-p2x2加x3加u减x1
这里为什么是u减x1呢
大家可以看到
我们在这里已经带入了信号间的连接关系
这个系统实际上
x2一点也是一个一阶惯性环节
它的a是p2 所以有个-p2x2 这没问题
但是它的输入比较复杂
它的输入由两个信号组成
是x3再加上一个从上面过来的信号
上面过来的信号是经过一个增益模块
这个增益模块的输入是谁呢
实际上是u-x1
所以u-x1是通过这个关系导过来
就变成这样
我们就再整理一下
按照x1 x2 x3的顺序列写的话
就是-x1 –p2x2加上x3再加u
那么同样的我们可以整理出来
x3一点到底是怎样依赖x和u的
我们这就不再细说了
大家可以根据图自己看一下
总之我们可以整理出一个状态空间表达式来
就是x1一点这个向量的导数
等于这样一个矩阵乘以x加上向量乘以u
这个矩阵就是我们的a矩阵也是状态矩阵或者叫系统矩阵
它是把x前面的系数摘出来
和u的系数分开
所以我们看到 根据第一个x1一点的方程
我们摘出来的系数是-p3 k 0
这是x1 x2 x3前面的系数
没有u u这一行是o
第二行是-1 -p2 1
后面有个1 这个1是在u里面
所以直接出现了u的1倍
第三行是x3一点的方程所对应的
它是p1减z1乘以x1
所以p1减z1是第一个元
第二个元是0 没有x2
第三个是-p1x3
所以这儿有个-p1
最后一项是u前面的系数
就是z1减p1这个系数
y比较简单 是100乘以x 也就是x1
这样的话我们通过一个例子说明了
我们前面说的从方框图导出状态空间模型的步骤
第一部是对每个模块进行串并联分解
串并联分解的结果如果在框图上体现出来
就是我们得到的只有比例和惯性环节的规范的方框图
在规范方框图之中
我们对于每一个一阶惯性环节的输出给全取
作为一个状态变量
那么我们就得到了状态变量图
也就是状态向量这个图
然后我们再根据这些状态向量和u的变化速率
如何依赖于状态和输入这个组合
这需要根据系统的框图里的线的连接关系来决定
我们也可以看到
输出这个信号怎么依赖于状态和输入的线性组合
这样就可以分别得到状态方程和输出方程
从而得到完整的状态空间描述
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