当前课程知识点：线性系统理论 > 第十二周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：复频域方法在系统设计方面的主要结论 > LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四） > 视频
大家好 我们前边给大家介绍了
输出反馈极点配置的补偿器综合问题分了两种情况
就是按照对象是否是循环的我们把它分为
循环情况下的设计问题和非循环的设计问题
那么这两种情况大家已经知道循环的概念了
我们就在回顾一下
就是在循环的情况下我们怎么来提补偿器的综合问题
这里边给了一个图
这个图是当G_o是循环的情况下
我们设计的补偿的方案的结构
从这可以看到实际上我们增加了一个t
这样的常数的向量作为补偿器的一部分
然后补偿器和它串在一起构成一个总的综合的补偿器
那么C(s)实际上还是我们设计的一个重点
这样一个新的结构它是适合于解决
当我们的G_o是循环的情况下的输出反馈极点配置问题
那我们的问题提法就变成了采用一个单位的输出反馈
假设被控对象G_o是真的也是循环的
由一个n阶的不可简约的MFD就是G_o
可以写成N_o*D_o^-1的形来表征
约定常数向量t满足一个这样的条件
就是G_o的特征多项式delta[G_o]=k*delta[G_o*t]
也就是G_o*t以后它的特征多项式
跟G_o的特征多项式中间只差一个常数
那么这样的t理论上可以证明是非常容易选取的
并且我们要设计一个综合的补偿器
就是t*C(s)的阶次我们约定为m
并且我们把所有的极点都指定好
到一个期望的位置是lamda_1^*-lamda_n+m^
仍然是多了m个就是来源于t*C(s)这些系统的极点
那么整个输出反馈极点配置问题现在就变成了
我们要求一个真的补偿器t*C(s)
当然这个t是一个常数肯定没有问题
也就是我们这里边要确定C(s)使得
整个闭环系统具有期望的闭环极点
那么这样一个补偿器的综合问题怎么来求解呢
下边我们就给出它基本的求解思路分成了三个步骤
第一个步骤是列写补偿器方程
大家看到上边这个图给出的形式的话
不是一般性你可以仿照我们前边分析
具有补偿器的单位负反馈的PMD的形式
你可以把它的P(s)写出来
可以知道假设t*C(s)是由不可简约的MFD
就是t*C(s)可以写成D_c^-1*N_c的形式的话
那么补偿器方程就列写出来变成了
D_c*D_o+N_c*N_o=D_cf^
D_cf^*是什么呢就是我们期望的闭环的一个特征多项式
那么这个特征多项式是把我们所有期望的闭环极点
分别和s减一下然后整个乘在一起的到一个大的
多项式作为我们期望的闭环特征多项式
那么这里边由于这个问题的特别的结构
就是我们引入了一个常数向量t
使得t*C(s)补偿器整体上它变成了一个列向量
这个列向量得到以后它给出来这个补偿器方程
跟一般的补偿器方程就是前边分析的串联补偿的
一个这样的补偿器方程的区别在于
就是我们现在的补偿器方程的特征多项式
它本身是直接对于这个矩阵的
就是D_c*D_o+N_c*N_o矩阵本身就退化成了1*1的矩阵
这样我们就不用指定整的这个D_cf^*大的矩阵的各个元
而是直接指定一个多项式了
那么在这种特殊情况下我们就很容易来它的可解性条件
这个可解性条件书上有详细的分析
我们在这主要给出它的结论
就是给定严格真的对象G_o
就是我们假定G_o本身是严格真的
也就是作为一个有理分式的话
它的各个元都是严格真的有理分式
分母的次数严格的超过分子的次数
我们把G_o的能控性指数记为mu
把G_o的能观性指数记为nu
然后如果指定的补偿器的极点个数m大于等于
min(mu-1,nu-1)的话那么就一定存在补偿器
t*C(s)使得闭环系统具有所有n+m个极点
能够实现极点的任意配置
也就是说当m的次数足够高的话
你可以任意指定n+m个极点位置
都可以通过我们的t*C(s)给它实现出来
那么这里边我们遇到了一个新的说法
就是某一个传递函数矩阵的能观性指数和能控性指数
我们这稍微解释一下就是mu和nu到底是什么
那么mu呢实际上把它称为G_o的能控性指数指的是什么呢
就是它的不可简约的右MFD分母的列次数的最大值
我们约定G_o是由一个右MFD不可简约的形式
N_o*D_o^-1给出的
那么G_o的能控性指数实际上
对应于不可简约的N_o*D_o^-1里边D_o
分母矩阵的列次数的最大值
这里边就把它选成了mu
那么G_o的能观性指数指的是
如果我们给G_o一个不可简约的左MFD的一个描述
这在我们前边给大家讲MFD就提到了
不管是左MFD还是右MFD
对同一个传递函数矩阵来说首先都是存在的
而且不可简约的通过约分的方法也是构造出来的
所以这点我们大家都是知道的
那么这个能观性指数指的是它不可简约的左MFD
得分母矩阵的行次数的最大值
这里边为了保证唯一性实际上还要通过单模变换
把无论是右MFD的的分母矩阵还是左MFD的的分母矩阵
都是可以给它转变成列既约和行既约的
那么这个时候求出的列次数的最大值也好
行次数的最大值也好它是唯一的
那么这个就是我们对一个传递函数矩阵G_o对象来说
它的能观性指数还是能控性指数
那么这里边第二条呢就是这个可解性条件
补偿器存在的条件这个充分条件实际上告诉我们
就是能控性指数和能观性指数的重要性
在于我们在频域里去设计的时候
这个时候我们可以看到只要我们的补偿器的阶次
不低于下限就是min(mu-1,nu-1)的下限的话
我们总是能够通过串联补偿使得整个这个系统
所有的极点都配置到一个期望的位置
第三步呢实际上就是在验证这个条件以后
或者我们把能观性指数和能控性指数的
min(mu-1,nu-1)求出来以后
我们就有了选取C(s)的阶次的依据了
那么接下来我们是需要求解这个补偿器方程
那么求解补偿器方程对于我们这样一个
G_o(s)是循环的情况
它对应的补偿器方程是个比较特殊的形式
它变成了一个标量方程一个标量的多项式方程
那么我们只要通过引入
待定系数法来依次比较s的各次的次数
让它的各个次数矩阵分别相等
就可以把补偿器方程D_c(s)和N_c(s)的问题
给转化成求一系列系数矩阵的问题
那么化成一个线性方程组来求解
而我们的可解性条件保证了这样一个方程它的解总是存在的
这样我们就可以保证在整个这个系统中
怎么样去设计这个C(s)的条件
这样我们就给出来具有串联的补偿的单位输出反馈的问题
当G_o是循环的时候我们怎么来做设计
那么接下来大家肯定有个问题就是
循环的情况我可以解决了
那么非循环的情况也许也很一般啊
我们并不能保证我们给定的G_o
都是循环的这种情况我们该怎么办呢
这是我们接下来要讨论的问题
在这里边我们对传递函数矩阵的非循环的补偿器综合问题
我们在这个图里给出来一个求解的框架
就是非循环对象它的极点配置的输出反馈具有这样一个结构
就是跟我们刚才那个情况不大一样
它是通过引入一个常值的负反馈K
然后把补偿器设计问题合并最后变成了一个
C(s)+K作为一个整个的补偿装置
这样一个结构又退化到循环的情况
具体来说就是我们通过常值的负反馈K矩阵引入
把一个非循环的对象G_o转化成一个循环的传递函数矩阵
G_o*[I+KG_o]^-1转化成一个循环矩阵的情况
那么这里边从G_o到G_o*[I+KG_o]^-1
这样一个新的被控对象这里边它的循环性的保证
存在性的条件是由K的引入来保证的
那么理论上可以证明我们选取的这样的K
并不是非常复杂而且是可以以很高的概率随机的选取的
这样不失一般性我们可以把非循环的问题都可以通过
转化转化为循环的问题
但我们引入了负反馈把这个等效的新的闭环对象
等效为一个情况就完全可以套用前边G_o的操作
现在就变成了G_o*[I+KG_o]^-1这样一个形式
那么它等价以后补偿的结构就是设计出来这个C还要加上K
这样整体上达到闭环极点配置的目的
这就是整体上通过串联的补偿加上单位负反馈
来配置极点的整个求解的一个频域框架
从这可以看出来它是把经典的频域里边
串联校正这样一个思路能够从单变量的传递函数推广到
多变量的传递函数矩阵的设计问题
这里边有一个核心的简化问题的技术
就是在补偿器方程的构造上通过引入循环性的条件
能够把我们整个这个补偿器方程
最后归结为一个标量的补偿器方程
从而通过求解代数方程的形式
能够系统化的来求解补偿器的参数矩阵
那么这就是我们介绍的一个例子
就是我们在概要性的频域理论的介绍当中
非常典型的思路和例子就是我们在这说的
输出反馈里边做极点配置问题
大家也可以看到我们前边所学到的
无论是MFD的基本性质还是PMD来分析的基本手段
以及我们去解补偿器方程这样一个策略都展现出来
可以看出来再多变量的频域理论里边
它也有一个系统的处理方法
那么这是我们这部分的介绍
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