当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-8-1 线性二次型最优控制（一） > 视频
同学们好
我们这节课开始来学习线性二次型最优控制问题
我们前面学习很多这个综合问题的控制方法
那么它们基于的都是非优化性能指标的这种综合问题
比如说我们极点配置问题 正定问题
动态解耦问题 跟踪问题 扰动抑制问题
那么它们都属于非优化性能指标
那么这节课我们提出性能指标和这些不太一样
那这个性能指标实际上是我们提出这样一个指标
然后我们希望针对这个指标进行一个最大化或者最小化
找到满足这个最大化或最小化的条件的相应的控制
通过这样的一个途径 来设计我们系统的控制
在解决这样的问题过程中 实际上就用到了优化理论
利用优化理论对控制系统进行设计
实际上也是我们线性系统综合理论中一个非常重要的方法
它的基本思想就像我们刚才提到的 就是通过对指定的
我们设定的一个性能指标函数来导出这样一个控制律
这个指标函数 它依赖于我们的控制输入
或者说依赖于我们的状态变量
那么数学上我们来讲
这个线性控制型的最优控制问题
它所针对的性能指标是什么样
是我们下面这个样子
假设我们的控制对象 它的状态变量是x(t)
那么它的状态方程是Ax(t)+Bu(t) x(t)的初值是x0
那我们的二次型性能指标是定义成这个样子
这里面的二次型我们通常简写成LQ
它实际上就是我们这个Linear Quadratic
就是线性的二次型的它两个单词的字首字母的缩写
那我们这个性能指标包含什么样的部分 我们首先看
它实际上包含两大部分
第一个部分 1/2*x^T(t_f)Sx(t_f)
它这部分是依赖于我这个状态变量在终端时刻
在我们某一时刻设定的终端时刻的取值
那第二项是积分部分
它是从初始时刻到终端时刻的一个积分项
这个积分项里面包含两部分
其中一部分是依赖于状态变量
一部分依赖于输入信号的变量
那其中这里面 Q应该是一个半正定的对称矩阵
R是一个正定的对称矩阵
为什么R是正定对称 我们后面会讲
这里面 从物理上来讲
那么指标的第一项
也就是说和x(t)的终值的这一部分依赖的这一项
它衡量的是我状态的终值和我目标之间的差距
那么积分里面 这两项
第一项与x(t)部分有关的部分
它衡量的是我们系统在运动过程中系统本身消耗的能量
那积分第二项衡量的是我在控制过程中
外部的输入所注入的能量
也就是说控制本身所需要的能量
所以说我们一个这样二次型指标
实际上就是在这3部分指标之间进行加权平衡
所以说 这就定义我们系统的指标
那性能指标虽然和我们前面的极点配置问题
我们回顾一下极点配置问题
我们控制目标是希望闭环系统极点
处在我们给定的一组闭环极点
那我们这两个定义方式虽然是不一样的
但是实际上 他们都有共同的目标
也就是说 我们在工程上
我们通常是通过动静态性能来描述
那我希望静态误差尽量的小 甚至为0
我希望动态过程中超调不要太大
它的过渡过程时间不要太长
那这个性能指标实际上是和我们这些极点配置
和我们这些优化性能指标实际上是一一对应的
我们学过 那么这些动静态性能指标
我们可以转化为期望的级联度
那同样道理 我们这里面的S矩阵 Q矩阵 R矩阵
它实际上也是和我们的这个动静态系统之间
是有一一对应的关系
比如说 我这个静态系统指标就对应于x的终值
它实际上是对应于我这个S矩阵的选择
那我在动态过程中的超调
各部分的动态系统指标实际上是对应于我Q矩阵的选择
所以说 我在实际的设计过程中
如何恰当的选择S Q 和R矩阵
实际上也是一个非常重要的问题
那这些矩阵的选择
它应该能够和我们工程人员所熟悉的工程性的系统指标
它应该有一个很好的对应关系
这个问题是一个很重要的问题
但是我们在课程的学习中不做讨论
大家如果感兴趣的话 可以找一些参考资料
假如说我们定义了一个这样的二次型性能指标以后
我们的最优控制问题实际上就很容易定义
就是我们最优控制问题就是要找到这样一个控制函数
使得我这个性能指标最小
这样使得它最小的对应的控制函数就是我们的最优控制
那这里面我们可以看到 我们在这个J性能指标定义上
可以看到实际上J依赖于两个变量
一个是我们的控制输入函数u(t)
另外一个是我们的状态变量x(t)
而且是依赖于这两个函数在初始时刻t_0
到终端时刻t_f这个区间上的取值
表面上看 我们这个性能函数是依赖于这两个函数
但是实际上 由于我们状态变量依赖于我们的控制输入u(t)
这个依赖关系是通过状态方程来反映的
也就是说我们给定了一个u(t)
那我们通过状态方程 实际上就知道x(t)由u(t)来决定
所以这时候 这里面x(t)它并不是一个独立的变量
所以说我们最终性能指标实际上只是一个u(t)的函数
那我们状态方程可以把它看成u(t)和x(t)的一个约束函数
这是一个观点
所以说我最终的综合目标J 实际上是独立的依赖于u(t)
所以说 我们说最优控制问题就是要使得J最小
得到的是最优控制
那相应的使它最小的控制输入函数 我们叫做最优控制
那么在这个最优控制u*(t)作用控制下
状态轨迹曲线x*(t) 我们叫做最优轨线
那么相应的这时候最小的指标函数值 我们叫做最优性能
那么在实际的控制设计中 最优控制问题中
我们通常是根据终端时间t_f的取值
我们把它分成有限时间LQ问题和无限时间LQ问题
那么有限时间就是我t_f是固定的有限值
那无限时间就是我t_f是无限大的情形
那么在这个控制目标的分类上我们通常分成这两类问题
一类是我们希望在目标函数最小的同时
而且同时希望系统最终在终端时刻到达原点
这样一个问题叫最优调节问题
那最优跟踪问题就是我们希望在保证目标函数达到最小
而且最后我们系统的输出
能够跟踪一个已知或者未知的参考输入
也就是我们前面所学习的跟踪问题
就是说 既满足跟踪的性能 又满足最优的性能
这是我的最优跟踪问题
那实际上后面我们可以看到
最优跟踪问题实际上就是最优调节器的一个推广
所以说我们在本节课里面重点来学习和讨论最优调节问题
好 我们这节课的内容就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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