当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二） > 视频
接下来我们来看一看
坐标变换它的价值
就是说我们用坐标变换可以有哪些应用
一个应用就是帮我们来分析和研究
所谓的系统不变量
就是在代数等价系统
所具有的一些公共的性质
这在某种程度上也是告诉我们
由于状态变量的选取
包括你可以通过任意坐标变换这种任意性
可能会影响到我们对这个系统本质的了解
因为毕竟坐标的选取是人为的
人为的选取坐标变换的形式
那么有可能就掩盖了系统的性质
但是往往是说
如果你不管坐标变换如何进行
那么这个系统总有一些和坐标变换无关的性质
那么这些性质显然是这个系统
所固有的属性 内在的属性
跟我们怎么去分析它没有关系
我们现在就给大家展示这样的例子
第一个就是状态矩阵A的一个重要性质
就是它的特征值的不变性
就是在坐标变换中
新老状态方程的A矩阵和AQ的矩阵
它的特征值是一样的
这个是我们开始不一定能够想到的
但是我们下面来看一下为什么
为了证明这一点我们只需要证明什么呢
其实我们知道
特征值它无非是特征多样式的根 对吧
特征方程把特征多样式列为零的特征方程的根
我们如果说它的特征方程是不变的
那当然它特征根也是不变的
我们就来看看它特征多样式是不是一样的
那么 我们就来直接计算在坐标变换前后
特征多项式之间的关系
我们知道坐标变换前是sI-A的行列式
变换后是sI-AQ塔的行列式
那么AQ塔的是谁呢
就是T逆AT
我们把它代进去看一下
sI-A的Q塔等于sI-T逆乘以A乘以T
这个时候 我们把单位这样做一个代换
把它变成T逆乘以T
这个逆矩阵乘以原来的矩阵肯定是单位阵
你这样做一下然后s是一个标量
可以和T逆相乘是交换顺序
所以我们就可以进一步的把上面的式子写成
T逆乘以sI-A括号再乘以T
就是分别从左边和右边把T逆和T给提出来
这样提出来以后我们再根据行列式的性质
就是3个矩阵相乘求行列式
等于这3个矩阵分别求行列式再相乘
我们就会发现AQ的特征多样式
其实是T逆的行列式乘以sI-A的行列式再乘以T
也就是T逆的行列式乘以A的特征多项式再乘以T
而我们知道T逆的行列式和T的行列式乘一起
其实就等于单位阵的行列式也等于1
所以我们就知道sI-A的行列式
它是等于sI-AQ塔的行列式
这样我们就知道A的和AQ的
在两个新老坐标底下的
新老状态向量选举方法底下的
特征多项式是一样的
从而它的特征方程一致
那么解出这些？
解出来的这些根都是一样的
这就是特征值的不变性
那么作为一个推论我们就知道
就是当你在求一个A的特征多项式的过程当中
求出来的多项式
你会展开它不同的s的幂次前面有些系数
这些系数其实就是特征多项式的s前面的系数
这些系数也是不随着坐标而发生变化的
这是我们从分析当中得到的结果
还有什么不变
这个大家也许更容易想到
毕竟我们选取状态变量
是为了紧凑的去描述因果系统的输入输出关系
你这个描述方法肯定不能改变这个输入输出关系
肯定得保持它的输入输出关系相等
所以我们说坐标的选取
不应该影响它的输入输出关系
而输入输出关系又是通过传递函数表示的
所以我们自然的有个结论
就是说坐标变换底下
这个传递函数矩阵也是它的不变量
也是系统的不变量
这个怎么看呢
这个从逻辑上已经解释了
但是从数学上我们也可以理论上分析一下
就是我们把变换前后的传递函数进行下计算
我们看下GQ塔等于谁
GQ塔按定义是
CQ塔乘以sI-AQ塔的逆乘以BQ塔加上DQ塔
但是我们知道这些带Q塔的量
实际上都是通过变换阵
和原来的矩阵联系在一起的
这样我们就把它一次代入
比如 CQ塔用CT代替
AQ塔用T逆AT来代替
BQ塔用T逆B来代替
D和原来一样
这样我们把代入的结果可以进行整理
然后我们同样把SI-AQ塔进行一下分解
我们把它分解成T逆乘以sI-A再乘以T
然后根据3个矩阵相乘
然后它的逆等于交换顺序以后
3个矩阵分别求逆在乘起来
那我们就会发现
我们实际上可以把T逆这部分
给它提到外边来
进过整理我们可以按照
这边列的推导的步骤得到
CT T逆 sI-A逆乘以T 乘以T逆 乘以B加上D
我们知道T乘以T逆 这一项应该是单位阵
所以我们就整理出来是C(sI-A)的逆乘以B加上D
而这个东西恰恰就是我们在
原系统的坐标X的状态选取底下
所对应的传递函数矩阵G(s)
这就是说我们从数学上也能够证明
在选取不同的状态变量
通过代数等价关系建立起来的
这个方程里面的输入输出关系是不变的
也就是传递函数矩阵是一个坐标不变量
好 我们在这就介绍了这个
关于坐标变换怎么样用于寻找或者确定不变量的问题
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