当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三） > 视频
我们介绍第三个知识点
状态方程的概念
有了状态空间 我们就可以在状态空间当中
建立起来系统状态演化的微分方程
状态方程的定义是描述系统状态变量
和系统输入之间关系的一阶微分方程组
我们把它称为状态方程
状态方程有个前提
就是 你需要引入状态变化速率
怎么样依赖于状态和输入的这样一个关系
而这个关系我们在数学上
就用联立的微分方程组来描述
为了我们能够直观的来看
一般而言 一个系统的状态方程是长得什么样子
我们通过图1的具体例子
前面我们也介绍过小车的例子
来给大家展示
它的状态方程到底是什么样的
这里面我们已经定义了状态变量
一个是y一个是y的导数
也就是一个是位置 一个是速度
我们把它分别称为x1和x2这样两个状态变量
然后我们把它组成状态向量
我们分别来看一下这两个状态变量
怎么样依赖于我们的输入和状态的当前值
首先第一我们看dx1/dt
也就是我们对位置求导数
实际上就是dy/dt
因为我们的y代表位置
那么位置的导数 当然就是速度
而我们在这个地方把速度作为它的第二个状态变量
所以我们实际上可以看到dx1/dt=x2
dx2/dt是谁呢
实际上就是对y求两阶导数
y求两阶导数就是加速度
我们根据牛顿定律知道
质量乘以加速度等于总的合力
所以我们现在用这个关系可以写出来
y的两阶导数
或者说x2的一阶导数它等于什么呢
等于-k/M*dy/dt+1/M*u
那么再整理一下
变成-k/M*x2+1/M*u
就表示成了x2和u的线性组合
这就是dx2/dt表示成状态
和输入的线性组合这样一种方式
那我们把它可以整理出来
写成向量的形式我们可以知道
x这个向量它的一阶导数
也就是状态向量随时间的变化速率
可以写成矩阵的形式
就变成了0 1 0 -k/M
这个矩阵乘以x1x2这个向量
加上0,1/M乘以u
这样的一个矩阵形式的状态方程
我们如果把这个式子抽象成矩阵符号
还可以通过引入参数矩阵
比如我们令A=0 1 0 -K/M这个矩阵
B=[0,1/M]这个向量
那我们可以通过把x令成[x1 x2]这个向量
这是状态向量
我们可以把它整理成x'=Ax+Bu的形式
那么这就是我们关于状态方程的建立的过程
大家可以很明显的看到
通过这样一个根据物理定律
选取合适的变量
我们可以建立出来关于这个动态系统
所满足的状态随时间演化的
一个一阶联立的微分方程组的形式
进而我们还可以考虑一下输出方程
也就是我们所关心的物理量
所谓系统对环境的作用
也许我们关心的就是小车每时每刻的位置
这条曲线到底什么样
那我们列出输出方程来
输出方程的定义是什么呢
就是 描述系统的状态变量
和输出变量之间关系的一组代数方程
我们把它称为输出方程
结合例子来说 我们可以看到
如果我们指定系统的位移
就是小车的位置
作为我们系统的输出的话
那我们可以就有这样一个关系y=x1
因为我们选的第一个变量就是位移
所以他就等于x1
但如果你把它写成向量的形式
你可以写成y=[1,0]*x1x2这个向量
因为如果我们把状态作为一个整体
用向量来表示的时候
那我们输出方程的形式 就是**这个式子
前面我们的状态方程给他一个符号 就是*这个式子
在这我们**这个式子也是一个y=C转置*x，c是一个列向量
我们一转置就变成横向量了
那么这里面的C就是[1,0] x同样是我们的状态向量
这样的话我们就得到输出方程
那么输出方程和我们的状态方程合在一起
我们讲因果系统已经提到了
实际上要完整的描述输入输出的关系
也就是描述系统的功能的话
我们需要它的状态转移映射 需要它的输出映射
现在我们有了状态方程来描述状态转移关系
有了输出方程描述输入和状态怎么决定输出
我们把它合在一起就得到什么呢
得到了状态空间表达式或者叫状态空间描述
也就是我们对一个系统
在线性系统这个框架里面建立状态空间描述
这件事情指的是
我们要得到两个方程
一个是状态方程 一个是输出方程
那么我们把我们对于具体的这个图1的小车例子拿来
把它的状态方程和它的输出方程
我们合在一起
就是把1*2*两个式子摆在一起联立起来
我们就得到了关于这个系统的完整的状态空间描述
当然作为一般来说我们想求解的这样一个系统
我们还是要知道它的初始条件 初始时刻
这些都是我们默认在状态方程里头需要提供
这样的话我们才能够完整的
去预测这个系统未来的发展方向
当给定u以后
我们把这个概念再稍微推广一下
这只是对于一个小车
我们知道两个状态就够了
是个二维的联立的微分方程组
对于一般的系统来说
如果他有一个输入一个输出的话
我们用类似的方法
我们可以建立起来它的状态方程和输出方程
就是我们这个地方给大家展示的
这个联立的微分方程组x1……xn的一点
分别是作为x1到xn和u的线性组合
那么得到这样的n个一阶方程组
还有我们的输出方程
就是y=C1x1+C2x2+……+Cnxn
我们也可以把矩阵形式的状态空间描述
给总结出来
就是x’=Ax+Bu y=C转置*x
这里面B和C转置都是列向量
那么这里面我们把系数分别写成 矩阵或者向量的形式
我们可以看到有n维的状态向量
有n*n的状态矩阵或者也称为系统矩阵
还有我们的输入向量 我们的输出向量
分别是x、A、B、C这几个向量或者矩阵
对于更复杂的
如果有多个输入信号
p个输入q个输出的话
我们这个时候得到的联立的状态方程
就会显得更复杂一些
这里面我们x1到xn的一阶导数就分别的要依赖于
不光要依赖于x1到xn的线性组合
还要依赖于u1到up的线性组合
而输出方程 也会变得更复杂一些
也会说y1到yq是q个y
它也是要依赖于x1到xn还有就是u1到up
这是一个分量的形式
但我们把它总结成一个向量的形式的时候
我们就会发现 联立的矩阵形式的状态方程
就是x'=Ax+Bu
这个B是一个矩阵 输入矩阵
然后这个y=Cx+Du
这个C和D就分别也是矩阵了
那么在这里面我们分别给这些参数矩阵起一些名字
比如说我们把A矩阵
当然还是我们的状态或者叫系统矩阵
这里面的B就称为输入矩阵也称为控制矩阵
我们的输入量到u的直接传递矩阵就是D
还有我们的输出矩阵就是C
就跟我们前面的向量形式就不太一样了
那我们这个时候的输入u和y也分别都是向量了
我们这一段
就是关于状态空间描述的三个知识点的介绍
分别介绍了状态 状态空间和系统的状态空间描述
-线性系统理论的一个有趣应用
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