当前课程知识点：线性系统理论 > 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构 > LST6-3-1 零空间 > 视频
我们前面给大家介绍了
传递函数矩阵的零极点分布
然后是通过史密斯麦克米伦形来定义
但是最后的结果在计算的时候一般不直接去化麦克米伦形
而是把它绕过去是通过评价值的方法来确定
而这个评价值的优势在于我们能够
统一的给出有限处和无穷远处的零极点统一的计算方法
那么我们也提到了在多变量的情况下
传递函数矩阵有很多性质是和单一有理分式的传递函数
比起来还是有很大的差异的
那么到底差异怎么样体现到底这个问题可能是多难呢
这个复杂形势怎么样的呢
我们接下来就花一点时间给大家介绍一点相关的概念
这里面就包括了传递函数矩阵的化零空间
最小多项式基和亏数这样一些概念
这样概念把它整个合在一起
都是为了揭示多变量的情况下
传递函数矩阵的研究
比原来简单的单变量的传递函数的研究
多出来的复杂性是如何具体来衡量或者说怎么来体现的
那么接下来就从传递函数矩阵的
化零空间或者简称零空间入手
零空间的产生呢
实际上这个概念大家如果熟悉线性代数的话你并不陌生
因为我们在线性代数里边去解线性方程组的时候
我们就会有零空间的概念
那么研究线性代数里边的零空间无非是
把一些非零的元素映射成为零
然后这些非零的元素它们构成的这个集合是零空间
那么这个概念对于我们研究传递函数矩阵
这样的有理分式矩阵也是可以来参考
所以我们说多变量系统和单变量系统有很大的区别
是体现在传递函数矩阵可能具有的某种奇异性
就是说singularity 英文是这么说的
那么对一个给定的传递函数矩阵
我们下边就来定义它的化零空间
我们首先定义它的右化零空间就是右边的化零空间
我们把它记作Omega_R R代表右边的意思
是这样一些有理分式向量f构成的集合是满足G(s)f(s)=0
f(s)是一个p*1有理分式向量
这个向量本身不等于零G(s)跟它乘在一起乘出零向量来了
这些f把它和在一起就称为
Omega_R 就称为G(s)的右零空间
那么右零空间的这个右呢
是由于f是从右边乘上的G这样一个来历
类似的可以定义左零空间
也就是说你能找到一个行向量乘到G(s)上边去
使得这个行向量比如说hG=0
那么这些h本身构成的空间就是所谓的左零空间
当然由于研究是对偶的所以我们就
主要侧重在右零空间相关的问题上
那我们首先来看一下右零空间的维数是多少
那我们给定一个传递函数矩阵
如果是一个p维输入q维输出的这样一个传递函数矩阵
而且我们直接去求G(s)的秩记做r
那么根据线性代数的理论我们很容易知道
就是这个Omega_R构成一个线性空间的话
它的维数就是p-r
也就是说G的列数减去G本身的维数
也就是它列线性空间当中线性无关这些列的个数
多出来的自由度实际上都是
允许出现非零的非空的右零空间这些向量的基的个数
所以这个维数是可以确定下来的
但这里头我想提一下的就是说我们
在定义右零空间的时候
特别的把零向量排除在外因为它是个平凡的向量
我们只关心哪些非零的向量
但你要真正构成一个线性空间的话你要把零元素放回来
我们说非奇异的一个传递函数矩阵
默认的本身就是一个方阵就是行列相等
并且行列式还是一个非零的有理分式
对这类矩阵来说呢你很容易知道什么呢
由于它的列是满秩的所以它的列空间就是说
是满秩的话那么它的化零空间本身是空集
不管是右零空间还是左零空间都是空集
也就是说你可以从这个侧面来看
右零空间的大小比如说它的维数到底是几维的
在一定程度上能反映G(s)的奇异性的大小或者长度
那么在这里头我们针对的是有理分式矩阵
这个时候我们谈论的是右零空间的维数比如说是p-r
那么在这个右零空间中显然它是可以找到基向量的
比如说我们找到了一些有理分式向量
这些有理分式向量它们是相性无关的
只要个数足够多
就可以构成这个右零空间Omega_R的一组基
但是我们观察到一个有趣的现象是什么呢
由于G(s)本身是有理分式构成的矩阵
那么使得它化零的这些向量的这组基的话
我其实是可以找到它的一组多项式基的
那么这组多项式基使得在后续的研究当中就
比较进一步展开深入的研究
我们先给大家举个例子
这个例子是一个两行三列的
这个G(s)是一个两行三列的有理分式矩阵
大家可以看到 这里面是三列所以p=3
然后我们的秩呢 可以很容易分析出来
对这个G(s) 它这个[1 0 1/s] 那么它的秩是2
这样我们知道它的右零空间啊
就是omiga的维数呢是p-r=1
也就是说呢 在这个非零的向量里面呢 有一个基向量
这个基向量可以通过简单的试凑
我可以把这个基向量找出来
大家可以看一下 我在这里给大家找的基向量是谁呢
就是[-1;1/s;s]
你可以发现什么呢
你把这个向量如果右乘到这个G(s)上去
比如我们是[1 s 0]乘到1
s和1/s乘到一起 我们会发现什么呢
1*(-)就是-1
加上s乘以1/s 那不就是1嘛
加上0*s=0
第二行也是一样 [1 0 1/s]乘上这个[-1 1/s s]
那乘出来结果 1*(-1)还是-1 0*1/s还是0
然后这个s乘以1/s上面是1 所以加起来它还是0
所以这个向量呢 它是个非零向量
然后它右乘到这个G(s)上结果是0
所以它是一个基向量
然后呢我们可以证明
omiga_r其实里面所有的非零的化零有理分式向量f
你都可以写成这个有理分式乘上[-1 1/s s]它的这种形式
这样的话我们就找到了一组基
但是呢我们其实可以通过通分的形式
我们给基向量里面每个分量都乘上一个最小公分母
就是我们把这个[-1 1/s s]通分
通分出来它的最小公分母是s
所以我们把这个s乘到它的每个分量上面
就会发现什么呢
你得到实际上是一个多项式的基向量
也就是说呢 [-s s^2 1]这个向量呢
它本身也可以作为基 就是说构成右零空间基本的向量
那么它产生所有其他的
就是乘上某一个有理分式的话
可以产生其他所有的化零向量来
那通过这个例子我们可以看出来
传递函数矩阵化零空间的话 那么一定能够找到多项式基
那么这个多项式基对我们进一步研究
传递函数矩阵奇异性大小是有帮助的
这个是我们接下来要给大家讲的 好
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