当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据 > 视频
我们介绍了这个系统的状态响应
那么状态响应对于一个线性系统来说
具有一个很大的优势
就是有状态转移矩阵为基础的
这个状态空间响应的解析表达式
那么有个这个解析表达式以后
对系统的性质的分析 就有了基础
而且有了很强有力的工具
我们下面就来展示这个工具的应用
那么就是分析系统的内部稳定性
我们先来介绍一下这个概念
就是系统的内部稳定性又称为渐近稳定性
是对于线性定常系统来说
它的定义是对于任意的初始状态
它的零输入响应都渐近趋向于0
那书上有它的具体的表达式 就是在第五章
但是我们要判断这个内部稳定性
实际上根据我们已有的知识 已经可以来做了
我们下面 就通过判断这个系统的极点来给出一个判据
就是内部稳定的充分必要条件
如果我们知道λi是线性定常系统的极点的集合
这当然 这个极点集合
就是A矩阵的所有特征值了
那么这个系统内部稳定的充要条件是λi都具有负实部
就是你把A矩阵拿来求出所有特征值
看一下每一个的这个实部 到底是正是负
如果全都是负的 那么这个系统就是渐近稳定的
也就是具有内部稳定性
那么这里面 我们给出来这个数学的描述
跟书上一样的 我们把它来仔细看一下
为什么这个判据是可以成立的
这里面我们用*给出来的是x一点等于Ax+Bu
然后给出了初始条件
那么系统可能是多输入多输出的
但是重点 这里面我们知道
根据这个系统零输入的情况下
在一个初始状态x0的里面 我们有一个自由解的表达式
就是x(t)等于e A(t)乘以x0
那么如果你的初始时间是t0的话
那这个表达式变成了e的A(t-t0)乘以x0
如果它总是满足不管这个x0怎么给
总是满足t趋于无穷的时候x(t)总是趋向于0的
这个时候 这就是渐近稳定的这个数学的定义
这个特征值判据就是我们刚才提到的
就是我们要看一下A的特征值是不是都是负实部
这个时候 我们说这个条件
是完全基于这些λ的实部的符号
道理在什么地方
我们在这不给出详细的证明
但是道理还是比较容易理解的
就是我们知道这个e A(t) 它必须得趋向于0
因为你这个x0首先是可以任意选取的
那你可以把标准正交基1 0 0 0 0 1
一个一个都选一遍
这本质上就要求什么
就是e A(t) 当t趋于无穷的时候
整个矩阵得趋向于0
也就是它每个元得趋向于0
而我们又由模态的概念就知道什么
就是这个e A(t) 到底最终是不是每个元趋于0
决定于它的所有模态函数是不是趋向于0的
那我们根据状态转移矩阵e A(t)的性质八到十一
也就是基于这个特征值的这个计算方法
我们知道可以通过相似变换把它最终的这个收敛问题
归结到这个约当标准型的这个元是不是全都收敛于0
而这里面 那就跟这个到底有没有重根没有关系了
完全决定于这些λi到底给出来的这个矩阵的指数函数e λi t
是不是对t趋于无穷的时候趋向于0
而这个判断是很简单
就是完全取决于这些λi它的实部 到底是不是严格的小于0
如果严格小于0的 那就趋向于0
如果不然的话 就是不能够保证任意初态都是收敛于0的
那么我们还可以看一个 这个内部稳定的稳定性判据
这个判据称为李雅普诺夫判据
对于我们来说 李雅普诺夫稳定性的概念
在我们这个课程里 由于学时有限的话
我们不会做详细的展开
是在课本的第五章
那么我们在这呐
给出来一个 渐近稳定性与内部稳定性的一个判据
这个判据是所谓的李雅普诺夫判据
它是由一个称为李雅普诺夫方程的
这个解的形式给出这个判据
是这么来说的
我们(*)所给出的系统
渐近稳定的充分必要条件是
对于一个任意的正定对称矩阵Q
李雅普诺夫方程A转置P加上PA等于-Q
这样一个方程 总是有唯一的正定对称的解矩阵P
这里面详细的证明就不给了
大家感兴趣可以去看书
我们对这个充分性和必要性做一点简单的讨论
事实上李雅普诺夫方法它是基于李雅普诺夫函数
这样一个基本的概念来建立的
那么它来判断稳定性的话
实际上有一个类似于能量函数所谓的李雅普诺夫函数
那么它是不是要衰减
那么如果衰减 系统就是稳定的
直观上来说不是很严格
我们在这 对于线性系统的话
我们构造一个二次型的李雅普诺夫函数x转置Px
就是这个V(x) 那么它对时间的导数可以求出来
是这个x的转置乘以A转置P加上PA再乘以x
这个东西由于李雅普诺夫方程的关系
实际上它可以写成-x转置Qx
P Q都是正定的话 那么这个V(x)就满足了
V(x)本身是一个正定的二次型
而V一点x 它是一个正定二次型取个负号
那么就是当t趋向于去穷的时候
它是整个x可以根据李雅普诺夫这个方法的理论
保证是任意的初始状态x(0)的话呐 x(t)都是趋向于0的
那么必要性的证明
主要是涉及到
就是说当渐近稳定的时候
这个正定对称解的形式是什么
实际上
这里面涉及到了一个李雅普诺夫微分方程这样一种构造
它是个矩阵方程
这个矩阵方程 以x矩阵为未知变量
那么它的时间导数等于A转置X+XA
然后它的初始条件X(0)
是一个矩阵 是这个Q矩阵
这个时候可以证明
就是当系统渐近稳定的时候
这个解矩阵P可以用一个构造性的方法给出
它是从0到无穷积分
积的对象是e A转置T乘以Q矩阵
再乘以e At 在时间轴上的积分
那么这就是 这个判据的这个理由
那当然我们在这也要强调
就是一般来说
我们对于一个给定的参数都已知的这个A矩阵来说
我们不太建议大家使用这个方法
而这个方法更多是在一些理论分析当中用的比较多
那么跟这个特征值判据比起来 这个方法它的优势在于
理论上 如果A带有未知的参数
或者甚至是你的设计参数的话
特别是我们的闭环反馈的时候
通常我们A矩阵是闭环矩阵 是带有设计参数的
那么这种情形下的话
这个李雅普诺夫方程为基础的这个判据
就实际上可以自然作为
我们设计当中的一个稳定性的约束条件出现
那么直接可以反映这个设计参数所满足的要求
而我们的特征值判据
在这种情况下 就不是很方便
因为特征值和这些设计参数之间
没有显式的解析关系
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