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我们已经看到了在线性系统里面
这个状态转移矩阵e^At啊
它在求解里面扮演非常重要的角色
由于我们这个e^At状态转移矩阵非常重要
所以我们有必要专门研究一下它的性质
所以我们现在跟大家一块来看一看
状态转移矩阵有哪些基本的性质
这些性质无论是用于计算还是用来做理论分析都是基础
我们看它一共有11条性质
当然很多书中也有不同的总结
不过呢 这里给大家列的比较详细一些
我们从第一个性质开始
第一个性质呢 就是状态转移矩阵在零时刻的时候
也就是这个e^At啊 当t=0的时候它本身等于单位阵
而这件事呢 我们其实可以根据e^At的定义直接看出来
那么它的定义呢 实际上定义成一个幂级数求和
为什么写成e^At呢
实际上也是参照了我们这个指数函数
它的泰勒展开在零的地方e^x的展开式
你看一下跟这个表达式是非常类似的
我们看一下 当我们把t定义为0
实际上e^At呢 A乘以t也是个零矩阵
这个时候从它的表达式里头
可以直接看出来所有和t有关的项全部置为0
那它本身就是一个单位阵
所以这条性质直接从定义导出
它的物理含义是什么呢
就是我们知道这个e^At*x(0)
不就是零输入响应下的x(t)嘛
那它就代表着如果你这个时钟没有往前推移
而是停留在初始状态
那么这个状态它不会自己瞬时发生变化
它就维持在这个零时刻这个状态唯一确定的
它不会自己产生瞬时的跳变
那么这条性质就是这样
我们第二个性质呢称为组合性质
这个组合性质指的是什么呢
就是e^At*e^Atau=e^A(t+tau)
也就说如果有两段时间
我们先让这个系统沿着系统的轨道自由的运动
没有输入在初始状态底下让它跑t这么长时间停下来
然后呢再让它继续跑tau这么长时间
那么这两段时间合在一起的结果
跟你分两段来跑结果是完全一致的
那么实际上意味着这个x(0)如果经过了t时刻到x(t)
然后再经过tau时刻到x(t+tau)这么多时间的结果呢
无论你是分两段计算这个转移的结果
还是直接计算t+tau这么长时间的转移的结果
那么得到的结果
只要是初始状态一样 那么整个状态是完全一样
那这个结果呢
也是可以类似于性质一从表达式里直接证明
就是用定义来证
无非是在展开的时候做一些合并
这里面有一个特点
就是e^At和e^Atau里面
实际上分别展开会出现At和Atau的若干次幂
而和A本身的幂次它都是可以进行乘积交换的
所以这个展开式是没有问题的
那我们再看第三个性质
第三个性质说的是状态转移矩阵求逆
也就是exp(At)如果求逆的话 它的表达式是什么
我们这里给出的结论是e^At的逆等于e^(-At)
也就是在这个指数上添个负号
那么也就是说求这个状态转移和求逆是可以交换顺序的
这个我们要稍微证明下
这个证明是怎么样呢
就是我们把这个e^(-At)和e^At按定义分别做展开
这个时候我们在前面e^(-At)做展开时
它的展开式里面出现了-At及-At的各个幂次
然后后面我们把e^At乘上去
它的展开式里面就都是At的各个幂次都是相加的关系
我们经过整理 就是把这个展开式按乘法的分配率呢
可以证明后面凡是含有t的项全部都可以抵消
只有单位阵留下了
所以我就知道了e^(-At)这个矩阵
它正好是e^At这个矩阵的逆
e^At的逆矩阵也就可以表达为e^(-At)了
下边讨论第四个性质
这个第四个性质是说呢
如果我们有两个矩阵A和B
那么这两个A和B矩阵
分两种情况看它相乘是否可以交换
如果AB=BA的话 当然这里假设的B是个方阵
不是我们的输入矩阵 这只是在看状态转移矩阵的性质
那么我们就可以有个基本的关系
就是e^At*e^Bt=e^(A+B)t
但是当AB不等于BA时 那么刚才说的式子不成立
也就是说两个状态转移矩阵相乘
不等于直接在指数上把两个数求和这样一个简单的计算
这一点是跟标量的情况很不一样
我们知道如果两个指数函数
那么直接相乘的话
通常是数值函数的话 它是指数是可以直接相加的
但是在这里不行 这里面关键的区别在于矩阵的相乘
因为我们的e^At它是一个矩阵的幂级数求和
那么e^At现在就有问题
就是说相乘的时候要特别小心 它的乘法是否可以交换
那我们底下给出按定义的把 e^(A+B)t做展开
那么展开的结果得到下边这个式子
我们会发现跟直接把e^At和e^Bt展开后
相乘会出现一些不一致的情况
就如我们现在给大家展示的
你把e^(A+B)t展开和e^At乘以e^Bt分别展开以后
两个式子可以相减
得到的结果呢
中间会出来一些含有BA-AB或者
BA^2+ABA+B^2A等等这些混合的乘积项
由于A和B是不可交换的
这些混合的乘积项不可做简单的化简
所以一般来说当A和B乘法不可以交换的时候
我们说它的这个状态转移矩阵也不能够乘积进行交换
当然它是能交换的时候
我们还是有一个可以相加的结论
那么性质五呢
这里讨论的是状态转移矩阵随时间的变化速率
也就是说这个e^At对时间求导数的表达式
我们在这里给出的结果是
e^At如果对时间求导的话 它可以写成A*e^At
当然它同时也等于e^At*A
这个很有意思啊
这个地方我们就验证了前面曾经给大家讲的
这个零输入响应的时候说
有个phi(t)它要满足这个x所要满足的方程
不过它是个矩阵
就是d phi/dt=A*phi
那么在这呢 我们可以看到d e^At/dt=A*e^At
恰好用e^At用phi(t)来代进去的时候
就是满足这个方程
那么这一点呢实际上
是要我们验证为什么e^At是这个齐次方程的解
那我们实际上还是用定义
由于矩阵指数是绝对收敛的对于有限的t
所以我们可以把这个求导和求幂级数和交换顺序
这个时候我们对级数形式求导的话会发现
单位阵导数等于0
然后At导数就是A
然后A^2 t^2/2!求出来是A^2 t
以此类推啊得到这样一个表达式
就是它的时间导数等于这个
然后如果我们给它乘以A的话
就是把这个公共的A给它提出来以后
我们会发现又还原出一个e^At这个求和形式
那么也就是验证了它满足我们这个齐次方程
当然这里面
当你把这个A从左边提出来满足的是A*e^At=d phi/dt
如果从右边提出来呢 那就是e^At*A=d phi/dt
第六个性质
我们如果对这个phi(t)的逆求导数的话
当然我们前面已经讲过了e^At如果求逆的话
它实际上就是e^(-At)
这个时候如果我们对它进行时间t求导的话
就是-A*e^(-At)
也等于这个-e^(-At)*A
这个验证当然可以直接从定义去验证
也是能够证明的
当然也可以利用e^(At)它的逆是e^(-At)这个性能
然后两者乘积等于单位阵
这样求时间导数的话
利用分布求导
然后我们可以推出来
实际上就是它的逆对时间的导数
正好等于-phi(t)逆乘以A
第七个性质实际上是
利用相似变换
或者利用坐标变换来求e^(At)的解析表达式的一个性质
对于一个非奇异的矩阵P
总有e在肩膀上T逆乘以A再乘以T
就是对A进行相似变换后的这个矩阵做这个矩阵指数
那么得到的结果和什么相等呢
是和T逆乘以e^At再乘以T
也就是相似变换到底能不能
跟这个求矩阵指数状态转移矩阵这个运算交换顺序
那么我们在这里实际上首先来验证一个最基本的关系
这个关系说的是什么呢
就是相似变换和我们某一个矩阵求逆次运算是可以交换的
比如说(T^(-1)*A*T)^k
那么我们把它展开进行计算
会发现计算结果
它是等于T^(-1)*A^k*T
也就是说你求一个矩阵的k次幂
如果对A做相似变换再求k次幂
跟先求k次幂再做相似变换
得到的结果是一样的
那么我们根据这个关系
把它应用到矩阵幂级数表达式里会发现
实际上求这个矩阵指数
求状态转移矩阵运算也是可以与相似变换交换顺序
这样我们就证明了
你可以先做相似变换再求状态转移矩阵
也可以先求状态转移矩阵再做相似变换
这条性质实际上结合下面要讲的几个性质
就给出来一套怎么样来计算e^At的解析表达式的方法
我们看性质八
就是说如果A是一个对角矩阵
比如A是一个lambda_1一直到lambda_n作为对角线的元素
然后其他元素全为0的这样一个lambda矩阵形式
那我们呢根据定义很容易证明e^At在这种特殊情况下
它就是直接把求矩阵指数这个运算放到每个lambda上去
也就是对角线变成了
e^(lambda_1 t) e^(lambda_2 t)
一直到e^(lambda_n t)这样一个计算结果
也就是说你这个状态转移矩阵最后也是一个对角形式
那我们这个地方给出来这个计算的结果
大家可以看到
就是对于对角型矩阵来说矩阵幂级数求和
实际上是直接在对角线上依次来做
然后求它的级数旧型
这个时候呢
根据指数函数这个作为数值函数的解析表达式
我们看到恰好就得到
这个一大堆的e^(lambda_i t)的形式在对角线上
这是这个性质
那么我们接下来再看
就是说怎么把性质七和性质八结合起来
对于一个可以对角化的这样一个A矩阵
求它的状态转移矩阵e^At
那我们假设A是可以通过一个非奇异变换T
通过T^(-1)AT 形式变成lambda这种对角形式的
那我们就知道e^At是什么了
e^At实际上就是这个反变换
就是把T乘在左边
然后乘上这个对角型的
e^(lambda_i t)作为对角线的这样一个对角的矩阵
再乘以T逆
这样就可以说我们知道A其实是它的这个状态转移矩阵
e^At矩阵指数
也是和一个对角形的矩阵指数函数是相似的
那么我们也知道
对于一个一般给出来的方阵A 它不见得都能对角化
这个时候我们就要借助于下面两条性质
这个性质十说的是
如果A直接给出来的是一个约当标准型的矩阵
就是在这个地方给它展现出来
什么叫约当标准型呢
它是这样一种形式的矩阵
就是对角线上是完全相等的
都是lambda这个数
然后它的副对角线上边的次对角线上全是1
其他地方全是0
这种矩阵我们把它称为约当标准型
那对于约当标准型的矩阵来说
它的矩阵指数状态转移矩阵e^At是什么呢
这个比较简单
我们这给出来这个结果
这个证明利用定义级数求和的形式
不过比对角型稍微麻烦一点
同学可以自己试着来证一下
就是这个e^(Jt)
你给出来的约当块的形式放到指数肩膀上去乘以t的话
它其实是什么呢 是e^(lambda t)
这个lambda就是对角线上的元素
就是e^(lambda t)乘上后边这个矩阵
这个矩阵主对角线是1
然后次对角线依次是t 1/2!t^2
依次到1/(n-1)!t^(n-1)这样一个上三角矩阵
下面对角线底下全是0 这样一个形式
这样我们就知道了
如果我们有一个约当块的矩阵
求它的矩阵指数非常简单
直接代入公式就可以直接写出来了
不用再求无穷级数的形式
当然也不用直接做拉普拉斯变换
就直接按公式往里代
那么对于更一般的情况
就是我们这个性质十一所要讨论的问题
如果A可以通过非奇异变换变成约当标准型的话
那么它的矩阵指数是什么呢
e^At到底是什么呢 我们说呢
类似于我们刚才提到的对于对角型
可以相似变换为对角型的矩阵形式一样
e^At其实是可以通过逆的相似变换T和T逆
然后中间乘上e^(Jt)
这个J呢就是矩阵对应的约当标准型
当然这个我们给了一个约当块的形式
实际上我们可以推广到若干个约当块的形式
因为我们知道分块对角的矩阵
在这个求矩阵指数这样一个幂级数求和的时候
它是可以每个分块单独来做的
到此为止呢
我们利用前面讲过的性质呢
我们就有了怎么样给出一般矩阵的矩阵指数的计算方法
原因呢就是线性代数的知识告诉我们
任何一个方阵 都可以通过相似变换变成约当标准型
这样我们就完整的解决了
怎样得到任何一个矩阵它的矩阵指数的一个计算方法
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