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我们前边谈到
就是这个模态判据呢
如果给出来是对角标准型或者约当标准型
模态判据非常直观 而且很好用
那么我们也介绍了这个Gram矩阵的判据
Gram矩阵是个理论上的判据
我们看到呢 它是个积分的表达式 很神奇
就是那么复杂的一个式子
它居然跟我们的这个能控性是一个等价的关系
它的非奇异性
那么但是我们实际上还是想回答这样一个问题
就是说如果我这个系统不做坐标变换
我直接根据给定的这个方程的A和B
我到底能不能有一个简单的判断能控性的方法
我们现在就来介绍这个方法
这个方法称为秩判据
那么我们给定这个信号的系统
它是状态完全能控的充分必要条件是什么呢
这个秩判据告诉我们呢
如下定义一个能控性的判别矩阵
Qc这个矩阵 c代表Controllability
就是能控（性）的意思
它定义为这样的分块矩阵
有N个分块 分别是B AB
和一直到A的(N-1)次方（乘以）B
这里边的N就是系统的状态空间的维数
也就是A的尺寸
这样一个Qc矩阵 为行满秩
当然这个矩阵它是有N行的
所以这个矩阵的秩如果等于N的话
那么这个系统就是完全能控
这是个充分必要条件
这个条件由于它是检验了判别矩阵的秩
所以被称为秩判据
那么我们有的时候也简单地
就把这个Qc称为系统的能控性矩阵
那么这个矩阵呢大家观察一下
这个特点啊
这个矩阵呢它完全是A B做简单的代数运算
所构成的这样一个分块矩阵
显然它不需要经过坐标变换就直接可以算出来
然后它的秩是多少呢
也可以直接根据线性代数的判断秩的方法去求 对吧
所以这个判据呢应该说它有很大的优势
作为检验这个能控性
你要把A B给出来我就可以帮你去判断了
那关键是这个矩阵这么好用的话
这个事为什么是对的
我们现在也是简单地探讨一下它的证明
也是作为我们更加熟练地运用前边学到的理论知识来做一些分析
我们首先看它的充分性
这个充分性呢就是说
我们的证明用反证法
假设这个系统它不完全能控
那么这种情况下的话
我们这个Gram矩阵呢它肯定是奇异的
这样的话就存在一个非零的向量
使得下边这个二次型
（也就是）W和p构成的二次型它等于零
我们把Gram矩阵的定义代进来
它是个积分的表达式
那么代到这个二次型里来
我们可以整理出来这样一个表达的形式
右边这个积分呢就是从0到t1积分
对象是p转置（乘以）e的-AT（次幂）乘以B
把这个 这部分整个作为转置乘过来再积分等于零
那么 这个东西就意味着什么呢
由于我们 这个本身是个二次型的积分
它如果等于零
那么就意味着我们整个的这个被积式它的每个分量
在这个二次型的分量
在这个时间区间0到t1上边是恒等于零的
也就是这个p转置（乘以）e的
At（次幂乘以）B恒等于零
这是我们 给它做个标记啊
称为二星的这个式子
我们对二星这个式子呢
对于时间t求导数然后令时间t为0
也就是在0处对它求导
它因为恒等于0
所以它求导数它也是恒等于0
就会得到一系列的p转置（乘以）A的k次幂乘以B等于0
这个k可以从0一直到k等于n-1的情况都是对的
甚至比n的更大的情况也都是对的
那重点呢就是让我们看到了
就是p转置乘以A（的k次幂再乘以）B
它是等于0的
不管k是多少
那么从而我们就 你会观察到啊
我们如果把p转置乘到Qc这个分块矩阵上去以后
你会发现乘出来的结果
所有的分块其实都是某种
这个p转置乘以A（的k次幂再乘以）B的形式
那么如果说这些每个分块都是0
那整个p转置乘以Qc当然也就是0了
这就意味着什么呢
就是有一个行向量乘以Qc它等于0
而这个行向量本身又不等于0
那就说明Qc它肯定不是行满秩的
所以就出现矛盾
就是说 如果你这个Qc是满秩的
而你的状态又不能控的话
这事是不能成立的
所以状态得是能控的
这就是充分性
我们接下来分析它的必要性
必要性呢我们还是采取反证法
这个反证法就是假定这个Qc不是行满秩的
那么我们要推出来这个系统不是完全能控的
这个时候我们就是说由于这个Qc如果它不行满秩
我们就存在着一个例外的向量
这个行向量p转置
它乘以Qc等于零
那么这样我们就可以推出来什么呢
由于它乘以Qc等于0
也就意味着
Qc和p转置的乘出来的每个分块全都是0分块
也就是所谓的p转置乘以A（的k次幂再乘以）B等于0
k等于0 1 一直到n-1
那么我们有了这个p转置
乘以A（的k次幂再乘以）B等于0
各个分块都是等于0
K等于0到n-1
接下来我们就要利用这个
矩阵代数里边的Cayley Hamilton定理来证明
就是说这个p转置（乘以）e的-AT（次幂再乘以）B
也是恒等于0的
对于任意的t属于0到t1的范围
这就是三星这个式子
那这个之间是怎么联系起来的呢
我首先简要地给大家介绍一下
这个Cayley Hamilton定理
其实大家也可以看相关的参考书呢
也有这方面的内容
简单的来说呢
Cayley Hamilton定理它说出来一个重要的关系
就是说A矩阵的幂
就是任意一个方阵它的幂
一定可以表示
A矩阵的n次幂以及n+1或者更高次幂呢
一定可以表示成为
这个单位阵以及A的1次一直到A的n-1次幂的一个
线性组合的形式
而这个组合系数由谁给出呢
其实这个组合系数就是由
这个系统的特征多项式的系数给出
我这儿不细说了
但是大家知道一下就可以了
重要之点呢就是A的高次幂其实可以表示成为
A的0到n-1次幂的线性组合的形式
那么这个意味着什么呢
就是我们知道啊
这个e的At（次幂） 大家知道
e（的）At（次幂）这个东西
这个状态转移矩阵
它从形式上定义成这个A和t的幂级数之和
那么这里头确实会出现
A的n以及n+1等等以上的这种高次幂
所以呢我们从表面上看的话
这个e（的）At（次幂）或者e的-At（次幂）
它都会依赖于A的n以及更高次幂
但是事实上由于Cayley Hamilton定理的存在
就告诉我们呢
对于这个矩阵而言
实际上A的高次幂
最终是可以
通过一系列的线性组合的转化归结为有限次的幂
其实说白了
就是说e（的）At（次幂）其实可以看做是单位阵
一直到A的n-1次幂
这N个矩阵做线性组合而得到的这样一个表达式
这个其实在理论介绍得比较详细的一些书上也有
关于就是说这个状态转移矩阵
用这种展开方法计算的这个过程
我们在这里边没有详细地去介绍
但是你了解
就是说这个e（的）At（次幂）它是可以表达成为
这个由单位阵一直到A的n-1次幂
为止的这N个矩阵做线性组合得到的
当然呢 由于e（的）At（次幂）是依赖于t的
所以这个组合系数是时间的函数
但是在我们这 我们会发现呢
这个p转置（乘以）e的-At（次幂）乘以B
就可以根据Cayley Hamilton定量
写成一系列的p转置乘以A的k次幂乘以B
它们经过一些线性组合得到的式子
但是我们知道
p转置乘以A的k（次幂）乘以B呢
每一个都是0
所以无论怎么组合
出来还都是0
这就是为什么我们有三星这个式子的结果
那么这样的话我们就可以看下边这个二次型了
就是p转置（乘以）W（乘以）p这个二次型
它根据这个我们前边讨论过的
其实也是知道可以写成一个
对一个二次型的积分的一个表达式
这个二次型呢
里边其中一个分量
就是说这个是p转置
（乘以）e（的）–At（次幂）乘以B
是和它这部分转置构成的二次型积分
那我们看到这个本身
这个式子我们前边刚刚三星式子证明的结果说
这个被积式呢它对任意的t都等于0
所以它跟转置乘积还是0
那么整个积分它也是0
所以我们据此就判断出来了
这个p转置（乘以）W（乘以）p这个二次型
它是等于0的
这就意味着W这个矩阵是一个奇异的矩阵
那么也就意味着我们的状态是不完全能控的
这就又跟我们这个必要性证明的时候矛盾了
那么我们于是我们就得到了我们这个秩判据的证明
也就是我们的这个Qc
这个能控性判别矩阵或者简称能控性矩阵
它要是行满秩的
它的秩等于状态的维数也就是n
在这个条件下这个系统是完全能控的
否则的话这个系统不完全能控
这个判据有一个很大的好处
非常的直观
给定了这个系统的系数矩阵A和B以后呢就直接可以
计算这个能控性矩阵
从而判断它的秩就得出来（能控性）
不需要求特征值或者求它的约当标准型
这个应用上是非常广的
那么这个地方我们再顺带的介绍一下
就是这个状态的能控判据
还有一个叫PBH判据
这是3个人名的字头组成的判据的名称
这个判据也是一个秩判据
但是这个是一个在复频域里边
或者是特征值给出的一个判据
它是说对我们给定的一个信号的系统
是状态完全能控的充要条件是什么呢
是对于任何的一个复数s
就是sI-A和B构成的这个分块的复数矩阵
当把s代进去以后不就得出来一个复矩阵吗
这个矩阵它的秩等于这个A的维数
也就是行满秩的是n
那么这里边呢 要求这个s是任意选取的
所以你要测试所有的s
这个秩的条件总是成立的
这叫PBH秩判据
当然呢 在有些情况下这个判据也可以叙述为
就是我们这些s
不需要把所有的s代进来
我们只需要考虑n个s就行了
这n个s就是这个A的n个复数特征值lamda i
也就是说呢
我们只需要要求对于A的所有特征值lamda i而言
所得到的这个lamda i（乘以I）减A和B构成的这个
分块矩阵它是行满秩的
它的秩等于n
这个时候我们就可以断定
这个系统是完全能控的
当然这个证明就是仿照我们这里边开展的
前面给大家证明的例子也是可以推导出来的
但是我们在这儿由于时间的限制我们
也不做更详细的分析
当然这里边可能用到的一些知识还是要深入一些
有兴趣的同学可以深究一下
那么我们就介绍到这儿
-线性系统理论的一个有趣应用
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