当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST2-3-1 脉冲响应矩阵 > 视频
我们现在来介绍脉冲响应矩阵的概念
它跟我们分析系统的稳定性有关
下面我们来看一下什么叫脉冲响应矩阵
在零状态底下
线性定常系统在单位脉冲输入底下得到的系统的输出响应
这个系统输出响应指的是y(t)
这个时候我们称它为脉冲响应
特别的如果这个系统是多输入多输出系统
这时候我们把这个响应称为脉冲响应矩阵
因为此时出来的结果是一个矩阵形式的时间的函数
我们把它记作H(t)
那么根据这个定义
根据我们前面讲过的这个状态转移矩阵
以及状态响应的概念
我们知道 我们把输入信号用delta(t) 代进去
我们初始条件为零的情况下
可以得到系统输出的表达式是y(t)=C*x(t)
也就是把C直接乘到上面
如果我们还有输入输出直接连接矩阵D的话
这时候还多出来一项D*u(t)
在这儿delta_t的形式
我们把x(t)的表达式给它代进去
零状态情况底下 它的表达式应该是0到t积分
然后e^A(t-tau)Bu(tau)
现在的u是delta(t) 所以是delta(tau) 对tau作积分
这样一个表达式我们把它称作H(t)
这是它在单位脉冲输入信号底下得到的输出信号y(t)
那我们做拉普拉斯变换的话
我们知道这个H函数做拉普拉斯变换
其实做出的结果应该是C(SI-A)^(-1)*B+D
原因是delta(t)单位脉冲响应它的拉普拉斯变换是1
所以我们可以非常简单的做一个推导的话
就可以知道脉冲响应矩阵相应的拉普拉斯变化
就是C(SI-A)^(-1)*B+D
而我们前面也知道
根据我们建模的过程我们知道
对于一个状态空间的描述来说
这个表达式恰好就是它的传递函数矩阵G(s)
所以我们就看到了 实际上脉冲响应矩阵
就是传递函数矩阵拉普拉斯反变换的结果
这样我就找到了这个联系
如果我们对脉冲响应矩阵作进一步的分析的话
也可以很自然的看到(SI-A)^(-1)做反变换的话是e^At
所以我们自然也有上面这个表达式
H(t)=C*e^(At)*B+D*delta(t)这样一个形式
那么脉冲响应矩阵有哪些性质呢
它其实有很多的性质
不过我们在这里先提一个比较简单的性质
脉冲响应矩阵是系统坐标变换的不变量
可以试想一下 如果我们引入一个坐标变换的话
就是把x变成一个x~ 中间通过T矩阵联系在一起
这个时候就可以去看 在新的坐标底下它的脉冲响应矩阵
而我们知道传递函数矩阵是坐标变换的不变量
所以无论是直接按照前面给出的H(t)的拉普拉斯变换形式
还是说按照G(s)这个表达式
我们都可以直接验证
坐标变换底下
不同的坐标变换实际得到的脉冲响应矩阵是相同的
我们这里也给出一个简单的推导
大家可以看到
系统零状态输出响应
可以由脉冲响应和输入信号的卷积表达出来
这使我们能够看出来
y(t)表达式可以写成两种形式
一种如果我们直接知道了H(t)的话
我们就不必要求A B C这些系数矩阵
我们直接拿H和u输入信号做卷积
就可以得到当初始状态为0的情况下的y输出信号
我们为了强调零状态 我们用0x来表示这个输出
当然它跟我们前面基于状态方程给出来的状态响应
乘以C再加上Du这个式子结果计算出来应该是一致的
这个也可以看作输出的脉冲响应矩阵
它的一个应用
-线性系统理论的一个有趣应用
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