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线性定常系统
之所以我们说它的相关的理论结果很丰富
很重要的原因就是
关于线性定常系统相关的数学工具
和人们对它的研究成果非常丰富
我们在这个地方也会给大家介绍
很重要的一些特征结构
这些在物理和工程上用的很多
而且和工程实际也有非常明显的对应关系
这也是我们说
线性定常系统在模型方法上的一个优势
我们下面就给大家介绍
状态方程当中的系数矩阵也称为状态矩阵或者系统矩阵
就是这个系数矩阵A 它是一个非常重要的一个矩阵
表面上看它是在这个状态方程里面S前面的系数矩阵
但实际上它包含了这个关于整个系统特征非常重要的信息
我们下面就来讨论A的几个重要特征量
一个是关于A的特征多项式
还有就是特征值 还有特征向量和广义特征向量
这些都有清晰的物理含义
所以对我们研究系统非常重要
我们就从介绍特征多项式开始
对于一个参数矩阵A
我们引入一个辅多项式sI-A的行列式
记做sI-A旁边画两个竖线 有点像绝对值这个符号
但是实际上对于矩阵来说它指的是求它的行列式
你把一个单位阵拿来乘上s减去一个常数矩阵A
那么求完行列式得出来的结果是s的一个多项式
这个很容易理解
我们把这个多项式称为是A这个矩阵的特征多项式
为了便于大家理解 我们下面举一个例子
假设矩阵A就是[0 1;-2 -3]这样一个2*2的矩阵
看看它的特征多项式是什么
我们就按照定义来
我们把2*2的单位阵I拿来乘上s 就变成了[s 0; 0 s]
然后去减这个A 减A就是A的每一项前面添上负号
就是[0 -1; 2 3]
这样我们把这两个加一块sI-A
我们就得到了[s -1; 2 s+3[
这样一个2*2的带有辅变量s的多项式矩阵
这个矩阵画上竖线就是求行列式
求出来的结果是s平方加3s加2
这是s的一个多项式 这个就称为A的特征多项式
大家从这个定义来看的话
我们对于A 什么样的A能求特征多项式呢
它只要能完成这个方阵就可以了
完成这个常数矩阵就可以
我们在这给大家举个例子
那么我们有了这个特征多项式以后
我们还可以进一步去定义特征方程
什么叫特征方程呢
实际上一个特征方程它一定是对应于某一个矩阵的
假设A的特征多项式
让这个特征多项式sI-A的行列式我们把它列为0
这样一个多样式令为0不就建立一个方程么
我们把这么建立的方程称为A的特征方程
所以不管是特征多项式还是特征方程
都是针对某个给定的常数矩阵方的A来说的
那么这个特征方程既然是个代数方程
我们就可以讨论它有没有解 有几个解 以及它的解释什么
在这个时候我们就说又进一步可以定义特征值的概念
一个矩阵A的特征值
有的时候物理上经常把它称为特征值
也有把它称为特征根的
反正说的都是一回事
都是说A的特征方程的根
就是sI-A的行列式令为0这样一个方程解出来那些s的根
把它称为A的特征根
所以一个矩阵就出来了特征多项式 特征方程还有特征根
我们刚才讨论的矩阵已经知道了它的特征方程
我们再拿来看一看
看看它的特征方程和特征值是什么
我们知道sI-A它求出来特征多项式是s平方加3s加2
令为0 就是让它等于0的话就是它的特征方程了
s平方加3s加2等于0这个方程其实比较好解
我们很容易用因式分解的方法知道
它可以分解成s+1乘以s+2等于0
也就是s等于-1和s等于-2
我们把这两个特征根分别记做lambda1 lambda2
我们表示为两个特征根
所以说A这个矩阵有一个特征多项式 一个特征方程
但是有两个特征根
那么我们一般而言 对于一个N*N的A矩阵来说
它到底有几个特征根呢
我们很容易知道 对于一个sI-N
如果N是一个N*N的常数矩阵的话
那么求出来的行列式是一个N阶的多项式
因为sI-A这里面可以很容易证明它的最高项的系数是1
而且最高项是s0 sN次方
这样我们就知道它是一个N阶的多项式 辅多项式
这个东西等于0的话就它的一个N阶的代数方程
而根据高斯的代数基本定理
对于任意一个在辅助于解一个N次的多项式方程的话
代数方程我们知道它有N个辅根
所以我们知道一般性的结论是
对于一个N*N的A来说 或者说一个N个的变量的系统
它所对应的系统矩阵 它有N个特征值
在我们这是个2阶系统 它的特征值恰好有两个
然后我们对于一个A来说 刚才定义的这些特征量
大家可以看到有特征方程 特征根
我们还可以进一步的讨论它的特征向量
什么叫特征向量呢
特征向量是和你这个系统矩阵A维数一样的非0的列向量
我们把它记做Pi
那么一个Pi称为A的属于某一个特征值lambdaI的特征向量的
条件是什么呢
就是A乘以Pi等于lambdai乘以Pi
这是我们这公式所给出来的我们的要求
就是一个非0的N维向量 它只有满足APi等于lambdaiPi
这个式子的时候
我们才把这个Pi称为A这个矩阵的 属于lambdai的一个特征向量
这大家都明白了吗
那么从刚才说的这个定义来看
我们可以很容易知道 对于这个特征向量而言
它有一个特殊之处
就是说这个A乘到这个特殊向量Pi上面去
乘出来的结果是什么呢
乘出来的结果A这个矩阵
因为它是N*N的 里面有N平方个系数
按理说它对这个向量乘完的结果
引起了这个结果的这个向量不知道跑哪去了
这个方向 各方面可能变化很大
但是对于特征向量乘的结果却很简单
就是把它扩大了lambda_i这么多倍
这个方向都没有变
只是把它每一个分量上都乘上了lambda_i这个数
只是长度增加了lambda_i
当然这个长度是打引号的 因为lambda_i可能是个负数
我们根据刚才讨论的这个定义特征向量的话
我们来看一下
我们所讨论的这个例子里面这个A矩阵[0 1; -2 -3]
它的属于lambda_1这个等于-1这个特征根的特征向量
我们说了你得属于某一个特征值
所以我们等于说要求这样一个P1
怎么求呢 刚才那个式子只是一个约定
我们真正求的时候可以用下面这个式子
就是我们列一个方程lambda_1i-A*Pi我们让它等于0
那么lambdai-A可以把lambda1先当成一个辅变量放这
那我们就等于说给出来的这个方程
实际上有一个系数矩阵lambda1i-A乘到这个P1上面
那么就是[lambda1-0 -1; 2 lambda1+3]整个这个矩阵乘到P1上面去
那么把lambda1等于-1带进去就是[-1 -1; 2 2]这个矩阵乘以P1
我们利用这个矩阵乘积乘这个向量等于0这个方程的话
我们找一下P1 到底什么样的向量能满足这个条件
这里面对于特征向量有一个约定
就是特征向量是一个非0的向量
那非0向量的话那不能两个都取0
因为你两个都取0代进去肯定是满足的
但这不是我们要的 我们要的是非0的P1
但是它乘到[-1 -1; 2 2]上面去乘出来得是0
我们其实可以取
取出来你比如说我把这个P1选作1 -1这个项
你就可以满足要求
因为这两行上面两个是相等的
你只要1和-1这个是符号相反数量相等的
任何一个向量都满足要求
那么通过这个例子我们可以看到什么呢
其实这个特征向量不是唯一的
你把特征向量都统一的把它乘上某一个常数
它仍然还是特征向量
你比如说我们换成2 -2它也是特征向量
但是我们可以看到直观上我们可以认识一下
就是说我们这些特征向量是个什么概念
接下来我们就再给大家介绍这个广义特征向量
广义特征向量是什么呢
顾名思义它肯定是把特征向量这个概念做了某种推广
它本身就不是特征向量了
那么它是什么 我们来看一下
它出现在某些特殊的情况 也是A有关
那么lambdai是A的特征多项式的重根
就是你这个特征方程里可能有重根出来
我们刚才举得例子里两个根一个-1一个-2它不重根
但是我们这有一个例子它是重的
比如说A等于01 00这个矩阵
你要求它的特征多项式 你会发现出来的结果它是重的
就是0是它的重根 就是s平方等于0
那么它实际上有两个根 但是都在0的位置
这个时候我们就会考虑所谓广义特征向量
广义特征向量是这么定义的
就是说lambdaI是A的一个特征多项式的重根的话
就称满足下面这个条件的非0向量Pi
是矩阵A的属于特征值lambdai的广义特征向量
这个条件什么呢
就是lambdai乘以单位阵I减去A的k次幂
这个矩阵把它乘K次然后乘上Pi等于0
并且lambdai乘以I减去A的k-1次幂乘以Pi不等于0
就对某一个这个k 它得是大于等于1的一个数
然后你要满足这个条件以后呢
它就说你要有这样的K的话 它就变成了广义特征向量
那这个条件看起来有点复杂
我们用下面的这个例子来说明一下
刚才我们举出来的这个例子就是A如果是[0 1; 0 0]的时候
你可以看到它有一个重根是两重根
那么我们来一下它的广义特征向量
属于这个lambda等于0的广义特征向量是什么样的
首先我们把lambdaI减A乘以P这个方程给列出来
那么lambda1减[0 1; 0 lambda1]减0这个整个乘以P
这里面lambda1就是我们的lambda 就是0
所以我们可以得出来结果就是01 00
这其实就是跟我们的A矩阵是一样的
它乘以P呢得不等于0
因为你广义特征向量不能等于0
这个东西直接等于0是什么呢
你求出来是它的特征向量
那不等于0怎么办呢
这个不等于0 但是我们下面要求把这个lambdaI-A的平方
再往上这个平方得出现
*P以后它得等于0
我们把这个矩阵lambdaI-A给它平方一下
然后得出来的系数矩阵 发现是全0的矩阵
它乘以P得等于0
所以我们的广义特征向量就满足这两个条件
一个01 00乘以P不等于0 [0 0;0 0]乘以P得等于0
我们说后面这个条件其实是自然满足
你不管改什么P都满足
关键是你要让前一个条件不满足
前一个条件不满足呢 你可以选什么呢
你不能选00 因为我们要求是非0的P
所以00肯定不行
还有就是这个P你也不能选10
因为P选10的话第一个式子它也等于0
但P选[0；1]的时候你会发现同时满足上下两个条件
就是[0 1;0 0]乘以P它不等于0它等于1
然后[0 0; 0 0]乘以P它等于0
这样我们就看到
这样选出来的这个P它是一个广义特征向量
那么当然我们说当这个重根的重数更高
比如说这个5次的10次的
你这连广义特征向量的数量也会相应的增加
而这个k也会就是从我们刚才说到的这个k的**
会依次增加到你的重数
那么这个实际上在线性代数里面其实也有介绍
不过我们在这今后我们课程需要给大家再复习一下
好 这就是我们这个知识点的介绍
-线性系统理论的一个有趣应用
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