当前课程知识点：线性系统理论 > 第六周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（一） > LST4-2-5 极点配置（五） > 视频
同学们好 我们这次课的内容来简单介绍下
多输入系统的极点配置算法
我们在前边的学习过程中我们学习到了
对单输入系统这个极点配置算法
我们可以在它这个能控规范型下面进行计算
那么多输入系统是不是也可以这样呢
我们讲呢实际上也是同样道理也是可以用类似算法
那我们在多输入系统这个极点配置里边的规范型
是单输入系统的规范型的一个推广 我们叫龙伯格规范型
这个算法和我们单输入系统的极点配置的算法非常类似
首先第一步假设我们这个系统是diff(x)=Ax+Bu
这里面由于输入个数是多个了
所以这时候系数矩阵P就是一个矩阵
而不是像单输入系统里边的一个向量
那我们现在就是要找这样一个系数矩阵K
使得它在反馈控制律u=-Kx(t)+v(t)
下边闭环系统极点是
我希望的极点位置lamda_1*-lamda_n*
那第一步所谓一样道理
由于极点配置定理 这个极点可以任意配置
当且仅当A B是完全能控的
所以第一步首先判断系统是不是完全能控的
通过A B构成的能控性矩阵的秩来判断
那第二步和我们单输入系统极点配置算法类似
我们先把系统通过一个变换把它变到一个能控标准型下边
这个能控标准型我们叫做龙伯格能控标准型
在这个能控标准型下边我们可以把这个闭环极点
按照标准型分组分别的进行极点的配置
分好以后在这个标准型下边我们就可以直接计算反馈矩阵
因为这个矩阵是在能控规范型下得到的
我们还需要把这个反馈矩阵
通过坐标变换变换到原始的坐标系
得到所需要的综合的结果
那么在介绍这个算法之前我们首先回顾下
什么是龙伯格能控规范型
对于一个多输入多输出系统
我们总可以通过一个非奇异变换
把系统矩阵变成一个r块的一个这样的形式
也就是说我可以把A变成A~这样一个分块的形式
那其中A的每一个对角块 比如我们说A_rr这个对角块
它这个对角块的形式
和我们单输入系统的能控规范型形式是完全一样的
也就是右上角是一个n-1维的单位矩阵
左边这一列的前n-1个元素是0
最后一行是非零元素
这是和我们单输入系统能控规范型是一样的
但是和单输入系统不一样的地方是对角线虽然类似
但是龙伯格能控规范型的非对角块它不是零的
一般来讲它不一定是零矩阵
它虽然不是零矩阵但是它也有比较特殊的形式
就是说对应这块只有最后这行是非零的
前边所有行都是零元素
这是龙伯格能控规范型下面A的具体表达式
那么B矩阵的表达式也是类似
就是说我如果能把A分成r*r块的话
我可以把B矩阵左边的r列写成这个样子
其中第一列对应A_11这个维数它这个样子就是00001
这个样子和单输入系统能控规范型下面
B矩阵的形式是完全一样的
相应的第二列顺次往下也是这样一个形式的向量
一直到第r列
最后左边有r列是这个样子的
r列以后后边这块是什么样的形式呢
它可以是任意的一个非零的或零的矩阵
大家注意的是什么呢
是我们这个B矩阵左边这r列里边呢
比如说我们说第一列里面非零元素1右边这个位置
可以是一个非零的元素
也就是说这时候呢B左边这r列并不是一个对角块的形式
这是多输入多输出系统龙伯格能控规范型的基本表述
它实际上和单输入系统能控规范性很像
但是也是有区别的
基于这个能控规范性我们就可以去直接计算
系统反馈配置极点所需要的反馈矩阵
在配置以前我们首先需要根据得到的分解
因为我们知道可以把A矩阵分成r块
每一块都类似于单输入系统的能控规范型
那我们相应的我们也要把n个闭环极点
根据这r块每一块的维数是n_1-n_r对它进行分组
就是第1组包含n_1个极点
第2组包含n_2个极点 第r组包含n_r个极点
然后我们分别的去进行极点配置的算法
当然这个极点配置的算法由于A矩阵和B矩阵
在龙伯格能控规范型下面不是对角形式的
所以这时候我们计算K系数的时候呢
就不像我们在单输入系统下面计算K系数那么简单
比如说我们以两块为例
假如说我们这个能控规范型下面分成了两块
大家可以看到这时候反馈系数矩阵长什么样子呢
它根据系统的龙伯格规范型分块呢
它实际上呢也分成两块
那这两块呢大家可以看到
第一块的第一行是
alpha_10*-alpha_10 alpha_11*-alpha_11
这一行的形式是和我们前面的
单输入单输出系统K矩阵的求法是一样的
也就是说如果把A矩阵的A_1这块和B矩阵的第一列这块
我们把它单独的看成一个单输入系统的话
把这一组的期望的闭环极点取为a_10*-a_12*
这组对应A_11的特征多项式系数是a_10 a_11 a_12的话
那么我们相应的K系数就是这两个特征多项式系数的差
这是大家比较熟悉的结果
但是呢再往后就不一样了
因为我们龙伯格规范型矩阵不是对角块的
我们看K的第二块对应的位置是第二行
第二行位置这个表达式是和单输入系统的形式是一致的
也是两个特征多项式系数的差
其中a_20和a_21是在龙伯格规范型下边
A_22~这部分的特征多项式系数
但是不同的地方是什么呢
就是a_20*-a_20上面这一行的系数矩阵的系数是非零的
这个是由于龙伯格规范型
不是对角块所造成的这样一个特点
那其中这些系数是alpha_ij
和beta_ij是取自于龙伯格规范型
那alpha_ij是每个对角块的系数
beta_ij是龙伯格规范型A~非对角块里面对应的系数
包括gamma是取自于B~里面非对角块的具体的系数
那所以闭环系统在能控规范型下面
K矩阵的取法就是这个样子
我们可以验证在这个反馈矩阵下闭环系统的矩阵
就正好可以化成这样一个下三角块的形式
其中每个对角块就是一个能控规范性
而且最后一行系数就对应于我们期望的特征多项式的系数
这时候就可以看到整个系数矩阵的特征值就由对角块决定
而每个对角块的极点正好配置到我们期望的极点
这样就可以达到极点配置的目标
这样在龙伯格规范型下面就可以实现极点的配置
当然同样道理作为最后一步还需要做一个坐标变换
通过龙伯格规范型坐标变换
把反馈系数矩阵K~变换到原来的坐标系
这样最后就得到我们的综合结果
这就是从单输入系统推广到多输入系统的极点配置算法
那我们这部分内容就到这里
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