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我们给大家介绍过能控能观性的概念以及它的判据
在这里我们来介绍下多变量系统特有的一个概念
它是由能控能观性衍生出来的
叫能控性指数以及系统的结构不变量
我们从能控性指数和能观性指数的定义出来依次来看
我们首先给定一个t个输入
q个输出的线性定常系统的状态空间描述
它的状态方程和输出方程列在（*）式
如果我们知道（*）式是状态完全能控的
那么我们把它的输入矩阵b的秩假设为r
也就是说b做列划分之后 它的列向量虽然有p个
但它的秩为r
因此划分后b中有r个相互线性无关的向量
不妨约定b1到br是线性无关的列向量
那么这种情况下是多个输入的情况
虽然系统是完全能控的
也就是Qc=[b Ab ... A(n-1)b]
这样n个分块构成的矩阵
虽然它行满秩 行如果是n
那么我们看到它的列数远远超过了它的行数
如果是多输入系统
前面的算例 包括大家可以想象
大家都可以很容易理解这个问题
那么这么多的列向量中只有n个是线性无关的
到底Qc中哪些列向量是线性无关的
我们下边就此问题展开深入的讨论
特别地是把Qc中按照下面方式排列的列向量集合
导出的一些指数称为能控性指数集
怎么排列呢
是b1 A*b1... A(mu1-1)*b1
然后是b2 A*b2... A(mu2-1)*b2
然后依次类推 一直到br A*br... A(mur-1)*br
我们知道当mu1+...mur=n
所有刚才依次列出的向量是线性无关的话
那么我们就把这些指标集mui称为能控性指数集
这个概念可能会稍微有点绕 再解释一下
就是说Qc矩阵中的向量无非就是这样一些形式
要么是某个bi 要么是某个A(k)bi
跟我们列出来的一系列向量的形式很类似
但是它的次数在这里做了一个限定
比如A和向量b1相乘的次数一直是到 A(mu1-1)
那么为什么没有更高次的 比如A(mu1)
原因是由于线性无关性的要求
这个线性无关性是说这里面出现的每一个向量
都不能表示成其他向量的线性组合
但是一旦出现了更高次的分量 比如说 A(ak)*bi
那么它一定能够被这里面出现的向量线性表示
所以它就不在出现在这个指标里面
那么我们可以看到这样一系列的选取
实际上是求取了一组最小的指数
这组最小指数可以按照一个列搜索的方法来进行搜索
也就是我们把b作为行的指标
比如说b1...br 作为行的编号
然后把I A...A(n-1) 作为行的指标
那这样就可以从b1出发
先从b1这一列 然后乘以I 然后乘以A
然后乘以A^2 一直乘下去
直到相乘的结果可以前面的变量来表示就停下来
我们再换一列 再换成b2这一列
然后依次按照这一列的搜索顺序再进行继续搜索
这样依次可以确定下来能控性指数集
所对应的Qc的列向量 都可以定下来
特别地把mui里面最大的整数称为整个系统的能控性指数
讲了这么多 大家都可能觉得不是很直观
同样也可以对（*）式做能观性的向量集收集
把能观性的矩阵Qo中 不妨把输出矩阵的秩是m
把Qo中的前m列假设是线性无关的
那么也可以按照c1,...,cm跟A依次相乘的方法
列出Qo的能观性的向量集合
依次排列是c1 c1A1... c1A1(mu1-1)
我们这样排列下来
要求整个向量集正好是n个向量 同时它们是线性无关的
那么把由这样的排列方法得到的结果
这里面得到的指标集mui称为系统的能观性指标集
把能观性指标集中最大的数称为系统的能观性指数
能控性指数有什么性质呢
我们看一下 它有这样两方面的性质
一个就是如果用mu来代替n
系统在能控性判据中Qc=[b Ab A^(n-1)b]
然后看里面的秩到底是多少
事实上Qd=[b Ab A^(mu1-1)b]这个分块矩阵
这个分块矩阵显然比Qc要少一些分块
就是mu以上的A的幂次都不会出现
当系统是完全能控时
其实Qd矩阵已经是满秩的
这当然根据定义很容易看出来
这个性质在我们做一些设计的时候是很有用途的
另外一个性质就是能控性指数是一个坐标不变量
就是坐标变换的不变量
我们把变换以后的系统称为（**）式
通过坐标变换得到的状态空间描述的话
我们来看一下这个系统变换以后的Qmu是多少
我们很容易验证 跟Qc变换前后的关系一样
Qmu变换以后是T^(-1)*Qmu
所以我们会发现如果这个系统
它的能控性指数在一个坐标下面判断出是mu
那么在新的坐标下面 不管坐标是什么
得到的能控性指数仍然是mu
还有很重要的一点
就是能控性指数集的直观解释到底是什么
我们知道能观性指数集是讨论多输入情况
是从Qc矩阵中取出来一系列线性无关的向量
从而导出的这些指标
那么这些指标是什么意思呢
实际上是跟我们想回答的这样一个问题有关
如果一个系统完全能控
那么用所有的输入信号组合起来
一定能够让它的任意一个初始状态返回零
这是可以做到的
但是由于是多输入系统 所以我们就会问这样一个问题
就是这里面的输入信号
它们的作用具体来说有没有什么差别
比如最直接的来说
每一个输入信号对整个的状态空间到底能控制几维的状态
这个概念是很有意义的
因为同样是输入 也许有的输入本质就是冗余的
比如b矩阵 如果它有p列输入
只有r个是线性无关的 那么可以说明什么呢
这里面只有r个独立的输入
其他的输入本身并不能独立地去改变这个系统的状态
进一步在r个里面去找
找出来r个能控性指数集的元素mui
它恰恰就代表了输入信号ui 到底能控制这个状态的维数
这是它的直观概念
所以这个概念大家就很容易理解
就是每个输入到底能独立控制几个分量
那么这件事从理论上也可以通过坐标变换的方法来证明
跟后面要讲的能控标准型是有联系的
到讲到的时候大家会看的非常清楚
-线性系统理论的一个有趣应用
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