当前课程知识点：线性系统理论 > 第一周 (第一部分绪论)：LST0系统及其分类 > 线性系统和非线性系统 > 视频
接下来呢
我们给大家来讨论一下
在因果系统里头我们还可以怎样进一步的进行分类
那么 这部分
我们要讨论非线性系统和线性系统的差别
这时候我们就已经谈论到了
我们现在所谓的线性系统理论
我们这个课是讲线性系统理论
那么非线性系统和线性系统到底是指的什么意思
我们要来看一下
我们对于因果的动态系统
强调了 就是可以通过引入状态来进行简化
那么这种简化 我也提到过
在物理上是有根据的
因为我们实际的因果系统
就是我们客观存在的这些物理过程
它都满足因果律
那么我们的科学定律发现
这些因果性实际上都可以用微分方程来描述
所以我们在这个地方要给大家介绍一下
状态方程的概念
因果系统 它的状态如何演化这件事情
实际上 从理论上
我们可以说都是可以通过微分或者差分方程
对于连续变化的动态系统
我们可以对它引入这样的描述
这个描述我用数学的形式给出来了
比如说 我们可以看到
x对时间的导数
可以由x,u和t它们在t时刻的值
通过于函数f来决定
那么在t0时刻 也就是我们感兴趣的开始时刻
这个x(t) t0它是由一个初始值x0
这个我们把它称为状态方程
你可以这么来理解
我们前面讲的状态转移映射这件事
它实际上还有一种非常紧凑的描述
当我们用到
牛顿莱姆尼斯来发明微积分这个符号的时候
我们会发现数学上有现成的工具
来帮我们去描述这个因果系统的状态转移映射
这种方式 就是所谓的向量场的方法
这个在非线性系统里面
对于我们这 就是联立的一解方程组
它描述了我们每个状态变量 随时间变化的速率
怎么依赖于当前的状态
当前的输入和当前的时刻
这个描述是这样一个形式
当是离散的系统
也就是关心的是整点上边的
采样时间上边的这些变化过程的时候
我们这个系统是差分方程来描述的
但是概念是一样的
就是一下一步的k+1时刻的状态变量的值
怎么决定与当前时刻的状态输入
和当前这个时刻的值
以及它的初始的条件
这样的一个状态方程
给我们一个描述因果系统
状态转移映射非常紧凑的方式
再加上我们的输出映射
其实我们就得到了
关于因果动态系统的一个完整的描述
这里面我想强调一下
因果系统其实它的类型还有很多
就是像我们提到的组合逻辑
或者说数字电路里面那些逻辑系统
它不适合用这种连续的微分方程
或者差分方程来描述
我们讲的实际上是物理过程
也就是说它是自然界里面的对象
它是大部分满足我们说的连续变量动态系统的
对于逻辑系统或者说由事件触发的系统
它怎么来描述呢
实际上有专门的理论称为离散事件系统理论
那是另外一个大的分支从模型上
那我们这门课关注的是连续变量动态系统
用微分方程组
也就是用微分方程或差分方程
来给出的这样的描述下的因果系统
它的研究问题
我们刚才给出的是一般的描述
大家可以看到 我们这个f映射
实际上给的是比较一般的
那我们把这种一般形式的描述模型
我们给它起一个专门的名字
叫非线性时变系统
这个非线性就体现在f这个映射上
它是个非线性映射
当然线性和非线性映射
实际上大家如果学过线性代数 就很清楚
就是我们按照一个映射是否具有线性性质
可以来判断
那么它是不是x,u和t的线性函数呢
这一点我们实际上可以用矩阵
用向量空间的概念来检验
我这个地方就不展开说了
那么我们一般的话它可能是个非线性
也就是它不一定满足这个叠加律
那我们的输出映射也可能不具有线性性质
所以一般来说它是一个非线性的
这里面加了一个概念称为时变的
这个时变性就体现在我这个映射本身
除了依赖于x和u之外
它还依赖于这个时刻t
对这样一个非线形时变系统而言
我们又进一步的可以把刚才说过的
我们前边提到的
我们的状态转移映射的描述可以进一步的给它展开
通过引入积分器 我们就可以看一下
现在我对系统有了更进一步的映射关系
这个映射关系在这张图里面我们看到
我们原来那个大的fan映射
现在被劈成了两半 劈成了两个子系统
一个是积分器组
积分器的输出被我们称为是状态向量
那么向量场
也就是原定微分方程的速度变化率这个函数
这个x(t)来代表输入状态和时间
怎么样一起去更新这个状态的变化速率
去推动这个状态的演化
所以我们看到这块被细化了
跟我们前边的两模块的框图比起来它更加详细了
这就是我们关于非线性系统的概念的介绍
大家可以看到它是因果系统一个具体的表现
只要是用微分方程组可以描述的
我们就可以把它用前面展示的框图给出
那么线性系统是非线性系统的特例
我们在这给大家展示的是 线性系统的模型
这个线性系统模型
我们在这看到 它的框图又变的更多了
我们现在把它的框图实际上分成了五块
你可以看到 我们前面的非线性系统 它是三块
状态转移映射这个地方有一个f
现在我们把这个f分成两块了
分成了A和B
我们把输出映射也分成两块 C和D
那么它的状态方程这个描述 也被细化了
x随时间的变化速率dx/dt
现在变成了A(t)x加上B(t)u这个形式
不再是一个笼统的f(x,u,t)了
而是A(t)x加上B(t)u
那我们的输出映射不再是原来的笼统的h
而是现在的C(t)x加上D(t)u
当然这是依赖于时间的
所以我们说 这个模型严格来说它叫线性时变系统
当然一般而言我们就把它称为线性系统
这就是我们看到 跟非线性系统它是有区别的
那么这个区别主要就体现在f和h这两个映射上边
都是具有线性的性质
所谓线性性质就是它可以把整体的映射关系
用x和u的线性组合来给出
组合系数分别是A和B C和D
对于y来说是C和D
对于dx/dt这个变化速率 状态变化速率
它是A和B作为组合系数
这是我们关于线性非线性的概念
它之间的联系和区别
大家可以看到这是它的一个特例
-线性系统理论的一个有趣应用
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